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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 2.3 - Ex. 41

Nos problemas 11-30, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada.

y 2 d x + x 2 + x y + y 2 d y = 0 ; y 0 = 1

Passo 1

Olá, tudo bem? Vamos resolver essa equação aí!

Olha só, nesses casos a gente sempre faz uma substituição para transformar a equação em uma equação diferencial separável. Esse livro apresenta duas substituições possíveis: y = u x     e     x = v y .

Geralmente a gente usa a x = v y quando a parte M ( x , y ) (a que acompanha o d x ) é mais simples do que N   ( x , y ) , do contrário, usamos y = u x .

Bom, olhando pra nossa equação...

y 2 d x + x 2 + x y + y 2 d y = 0

Vemos que a parte M ( x , y ) é mais simples, então vamos usar a substituição x = v y .

Passo 2

Vamos lá, se x = v y , temos d x = v   d y + y   d v . Vamos substituir isso na nossa equação então...

y 2 d x + x 2 + x y + y 2 d y = 0

y 2 v   d y + y   d v + v 2 y 2 + v y 2 + y 2 d y = 0

y 2 v   d y + y 3 d v + v 2 y 2 d y + v y 2 d y + y 2 d y = 0

v   d y + y   d v + v 2 d y + v d y + d y = 0

d y v 2 + 2 v + 1 = - y   d v

- d y y = d v v + 1 2

Temos uma EDO separável agora, só precisamos integrar os dois lados...

Passo 3

Integrando, ficamos com:

∫ d v v + 1 2   = ∫ - d y y

- 1 v + 1 = - ln ⁡ y + C

E como x = v y → v = x y , temos:

- 1 x y + 1 + ln ⁡ y = C

- y x + y + ln ⁡ y = C

Beleza! Achamos nossa solução geral, agora vamos encontrar esse C para resolver o problema de valor inicial...

Passo 4

A questão nos deu que y 0 = 1 , então vamos substituir isso na equação...

- y x + y + ln ⁡ y = C

- 1 0 + 1 + ln ⁡ 1 = C

- 1 + 0 = C

C = - 1

Então a solução para o problema inicial é:

- y x + y + ln ⁡ y = - 1

Prontinho! 😉

Resposta

- y x + y + ln ⁡ y = - 1

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