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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 6.1 - Ex. 22

Nos problemas 1-22, resolva a equação diferencial dada.

x 4 d 4 y d x 4 + 6 x 3 d 3 y d x 3 + 4 x d y d x - 4 y = 0

Passo 1

Olá, tudo bem?

Olha só, a gente quer resolver essa EDO de segunda ordem aqui:

x d 4 y d x 4 + 6 x 3 d 3 y d x 3 + 4 x d y d x - 4 y = 0

Temos aqui uma equação homogênea. Pra resolver esse tipo de equação, escrevemos y = x m , que é a forma da nossa resposta.

Bom, aí vamos ter:

y ' = m x m - 1

y ' ' = m m - 1 x m - 2

y ' ' ' = m m - 1 m - 2 x m - 3  

y 4 = m m - 1 m - 2 m - 3 x m - 4

Agora a gente vai substituir na EDO pra encontrar m , vamos lá!

Passo 2

Substituindo, vamos ter:

x 4 m m - 1 m - 2 m - 3 x m - 4 + 6 x 3 m m - 1 m - 2 x m - 3   + 4 m x m - 1 - 4 x m = 0

x m m 4 + 2 m 2 + 1 = 0

Daqui a gente tem que m 4 + 2 m 2 + 1 = 0 , já que x m ≠ 0 sempre. E resolvendo isso...

Passo 3

Resolvendo...

m 4 + 2 m 2 + 1 = 0

m 2 + 1 2 = 0

m 1 = m 2 = i

m 3 = m 4 = - i

Temos raízes complexas, sendo duas iguais então a solução é da forma:

y = x α [ c 1 cos ⁡ ( β ln ⁡ x ) + c 2 sen ⁡ ( β ln ⁡ x ) + c 3 ln ⁡ x cos ⁡ ( β ln ⁡ x ) + c 4 ln ⁡ x cos ⁡ ( β ln ⁡ x ) ]  

Onde α é a parte real e β a parte imaginária...

Então a nossa solução é:

y = cos ⁡ ( ln ⁡ x ) + c 2 sen ⁡ ( ln ⁡ x ) + c 3 ln ⁡ x cos ⁡ ( ln ⁡ x ) + c 4 ln ⁡ x cos ⁡ ( ln ⁡ x )

E terminamos! 😉

Resposta

y = cos ⁡ ( ln ⁡ x ) + c 2 sen ⁡ ( ln ⁡ x ) + c 3 ln ⁡ x cos ⁡ ( ln ⁡ x ) + c 4 ln ⁡ x cos ⁡ (

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