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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 6.1 - Ex. 11

Nos problemas 1-22, resolva a equação diferencial dada.

x 2 y ' ' + 5 x y ' + 4 y = 0

Passo 1

E aí, tudo beleza?

Olha só, a gente quer resolver essa EDO de segunda ordem aqui:

x 2 y ' ' + 5 x y ' + 4 y = 0

Temos aqui uma equação homogênea. Pra resolver esse tipo de equação, escrevemos y = x m , que é a forma da nossa resposta.

Bom, aí vamos ter:

y ' = m x m - 1

y ' ' = m m - 1 x m - 2

Agora a gente vai substituir na EDO e tentar encontrar m , bora!

Passo 2

Substituindo, vamos ter:

x 2 y ' ' + 5 x y ' + 4 y = 0

x 2 m m - 1 x m - 2 + 5 x ( m x m - 1 ) + 4 x m = 0

m 2 x m - m x m + 5 m x m + 4 x m = 0

m 2 x m + 4 m x m + 4 x m = 0

x m m 2 + 4 m + 4 = 0

Daqui a gente tem que m 2 + 4 m + 4 = 0 , já que x m ≠ 0 sempre. E resolvendo isso...

Passo 3

Resolvendo...

m 2 + 4 m + 4 = 0

m + 2 2 = 0

m = - 2

Temos uma raiz apenas, então nossa solução é da forma:

y = c 1 x m + c 2 x m ln ⁡ x

Então a nossa solução é:

y = c 1 x - 2 + c 2 x - 2 ln ⁡ x

E pronto! 😉

Resposta

y = c 1 x - 2 + c 2 x - 2 ln ⁡ x

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