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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 3.3 - Ex. 17

Resolva a equação diferencial da tratrix:

d y d x = - y s 2 - y 2

Veja problema 19, exercícios 1.2. Suponha que o ponto inicial no eixo dos y seja 0 ,   10 e o comprimento da corda seja s = 10 m .

Passo 1

Então galera, a equação que nos foi dada é a seguinte:

d y d x = - y s 2 - y 2

Como s = 10 , entaõ:

d y d x = - y 100 - y 2

Isolando as variáveis, teremos:

100 - y 2 y d y = - d x

Show!

Passo 2

Integrando ambos os lados da equação, teremos:

∫ 100 - y 2 y d y = - ∫ d x

Para a integral da esquerda vamos fazer uma substituição trigonométrica, do tipo:

y = a . cos ⁡ θ

Como a = 10 , então:

y = 10 cos ⁡ θ

d y = - 10 . s e n   θ d θ

Substituindo na nossa integral, teremos:

- 10 ∫ 10 2 - 10 2 c o s 2 θ 10 cos ⁡ θ . s e n   θ d θ

Simplificando:

- ∫ 100 1 - c o s 2 θ cos ⁡ θ . s e n   θ d θ

- 10 ∫ s e n   θ cos ⁡ θ . s e n   θ d θ = - 10 ∫ 1 - c o s 2 θ cos ⁡ θ d θ

- 10 ∫ sec ⁡ θ d θ + 10 ∫ cos ⁡ θ d θ

E agora sim conseguimos resolver essa integral!

Passo 3

Os resultados das nossas integrais serão:

- 10 ∫ sec ⁡ θ d θ + 10 ∫ cos ⁡ θ d θ = - 10 ln ⁡ sec ⁡ θ + tan ⁡ θ + 10 . s e n   θ + c 1

Voltando para a variável y , teremos:

∫ 100 - y 2 y d y = - 10 ln ⁡ 10 y + 100 - y 2 y + 100 - y 2 + c 1

E para a segunda integral, teremos:

- ∫ d x = - x + c 2

Juntando os resultados:

- 10 ln ⁡ 10 y + 100 - y 2 y + 100 - y 2 + c 1 = - x + c 2

∴ 10 ln ⁡ 10 y + 100 - y 2 y - 100 - y 2 = x + c

E está aí nossa solução geral, galera! No entanto, para finalizar mesmo precisamos aplicar a condição 0 ,   10 , então:

10 ln ⁡ 10 10 + 100 - 100 10 - 100 - 100 = 0 + c

10 ln ⁡ 1 - 0 = c

∴ c = 0

E então nossa solução final será:

10 ln ⁡ 10 y + 100 - y 2 y - 100 - y 2 = x

Resposta

10 ln ⁡ 10 y + 100 - y 2 y - 100 - y 2 = x

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