Enunciado
Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 2.7 - Ex. 21
Nos Problemas 1-26, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada.
Passo 1
Fala aí, tudo beleza?
Olha, a gente tem que fazer uma substituição nessa EDO aqui:
(tem um errinho no enunciado, que coloca um antes do , mas aí não dá pra resolver, então desconsidera ele...)
Pra transformar ela em algo que a gente saiba resolver...
A gente tem que tentar diminuir a ordem dessa EDO, pra isso, vamos fazer:
Passo 2
Bom, se , temos:
Substituindo isso na EDO, temos:
Essa é uma equação de Clairaut, pra facilitar, vamos escrever :
Passo 3
Derivando...
Passo 4
Agora perceba que para esse produto zerar, precisamos que:
ou
Da primeira opção, temos que:
E daí teremos uma solução:
E como , temos:
É uma família de soluções. Vamos ver o outro caso...
Passo 5
E da segunda, temos que montar o seguinte:
Substituindo a primeira na segunda, temos:
Agora colocando em :
E como , temos:
E terminamos por aqui! 😉
Resposta
e