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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 2.7 - Ex. 13

Nos Problemas 1-26, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada.

y ' + 1 = e - ( x + y ) sen ⁡ x

Passo 1

Fala aí, tudo beleza?

Olha, a gente tem que fazer uma substituição nessa EDO aqui:

y ' + 1 = e - ( x + y ) sen ⁡ x

Pra transformar ela em algo que a gente saiba resolver...

Vamos tentar transformar ela numa equação separável...

Vamos fazer u = x + y ...

Passo 2

Bom, se u = x + y , temos:

y = u - x

y ' = u ' - 1

Substituindo isso na nossa EDO:

y ' + 1 = e - ( x + y ) sen ⁡ x

u ' - 1 + 1 = e - u sen ⁡ x

u ' = e - u sen ⁡ x

d u d x = e - u sen ⁡ x

d u = e - u sen ⁡ x d x

e u   d u = sen ⁡ x   d x

Show! Chegamos a uma equação com variáveis já separadas. Só temos que resolver agora...

Passo 3

Vamos integrar os dois lados:

∫   e u   d u = ∫ sen ⁡ x   d x

e u =   - cos ⁡ x + C

E como u = x + y , temos:

e x + y + cos ⁡ x = C

E terminamos por aqui😉

Resposta

e x + y + cos ⁡ x = C

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