Nos problemas 1-26, use a Transformada de Laplace para resolver a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas. Quando apropriado, escreva f em termos de funções degrau unitário

y(4) - y = t, y(0) = 1, y'(0) = 0, y''(0) = 0, y'''(0) = 0

Passo 1

Oii, como vai? Vamos lá matar esse probleminha

Temos a equação diferencial:

y ( 4 ) - y = t ,       y 0 = 1 ,   y ' 0 = 0 ,   y ' ' 0 = 0 ,   y ' ' ' 0 = 0

Mas não vamos usar aqueles conceitos antigos para resolver essas equações ok? Vamos utilizar a Transformada de Laplace

Então, vamos fazer a transformada de Laplace da nossa equação, isolar o Y ( s ) e aí depois encontramos a transformada inversa, para termos y ( t )

Mas antes de começarmos, vamos lembrar algumas Transformadas de Laplace:

L y t = Y ( s )

L y ' t = s . Y s - y ( 0 )

L y ' ' t = s 2 . Y s - s . y 0 - y ' ( 0 )

L 1 = 1 s

L t n = n ! s n + 1

L e α t = 1 s - α

L c o s ⁡ ( k t ) = s s 2 + k ²

L s e n ⁡ ( k t ) = k s 2 + k ²

Vamos lá então?

Passo 2

Vamos fazer a Transformada de Laplace da equação:

y 4 - y = t

s 4 . Y s - s 3 . y 0 - s 2 . y ' 0 - s . y ' ' 0 - y ' ' ' ( 0 ) - Y ( s ) = 1 s 2

Sabemos do enunciado que y 0 = 1 ,   y ' 0 = 0 ,   y ' ' 0 = 0 ,   y ' ' ' 0 = 0

s 4 . Y s - s 3 . 0 - s 2 . 0 - s . 0 - 0 - Y ( s ) = 1 s 2

Colocando Y ( s ) em evidência:

Y s . ( s 4 - 1 ) = 1 s ²

Y s = 1 s ² ( s 4 - 1 )

Y s = 1 s ² ( s + 1 ) ( s - 1 ) ( s 2 + 1 )

Agora precisamos encontrar a transformada inversa disso ok?

Passo 3

Temos

Y s = 1 s ² ( s + 1 ) ( s - 1 ) ( s 2 + 1 )

Expandindo em frações parciais:

1 s ² ( s + 1 ) ( s - 1 ) ( s 2 + 1 ) = A s + B s 2 + C s + 1 + D s - 1 + E s + F s 2 + 1

De onde encontramos A = 0 ,   B = - 1 ,   C = - 1 4 ,   D = 1 4 ,   E = 0 e F = 1 2

Y s = 0 s + - 1 s ² + - 1 4 s + 1 + 1 4 s - 1 + 0 s + 1 2 s 2 + 1

Fazendo a transformada inversa, de acordo com as informações do passo 1, temos

y t = - t - 1 4 e - t + 1 4 e t + 1 2 s e n ( t )

Resposta

y t = - t - 1 4 e - t + 1 4 e t + 1 2 s e n ( t )

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos problemas 3-24, preencha as lacunas ou responda verdadeiro/falso.L^(-1) { 20 / s^6 }
Nos problemas 3-24, preencha as lacunas ou responda verdadeiro/falso.L { e^(-3t) s e n(2t) }
Nos problemas 3-24, preencha as lacunas ou responda verdadeiro/falso.L^{-1} { 1 / (s - 5)³ } ³
Nos problemas 3-24, preencha as lacunas ou responda verdadeiro/falso.1 * 1 = _____
Nos problemas 25-28, (a) expresse f em termos de função degrau unitário, (b) calcule L{f(t)} e (c) calcule L{e^t f(t)}