Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 7.5 - Ex. 13

Nos problemas 1-26, use a Transformada de Laplace para resolver a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas. Quando apropriado, escreva f em termos de funções degrau unitário

y ' ' - y ' = e t . c o s ⁡ ( t ) ,       y 0 = 0 ,   y ' 0 = 0

Passo 1

Oii, como vai? Vamos lá matar esse probleminha

Temos a equação diferencial:

y ' ' - y ' = e t . c o s ⁡ ( t ) ,       y 0 = 0 ,   y ' 0 = 0

Mas não vamos usar aqueles conceitos antigos para resolver essas equações ok? Vamos utilizar a Transformada de Laplace

Então, vamos fazer a transformada de Laplace da nossa equação, isolar o Y ( s ) e aí depois encontramos a transformada inversa, para termos y ( t )

Mas antes de começarmos, vamos lembrar algumas Transformadas de Laplace:

L y t = Y ( s )

L y ' t = s . Y s - y ( 0 )

L y ' ' t = s 2 . Y s - s . y 0 - y ' ( 0 )

L 1 = 1 s

L t n = n ! s n + 1

L e α t = 1 s - α

L c o s ⁡ ( k t ) = s s 2 + k ²

L s e n ⁡ ( k t ) = k s 2 + k ²

Vamos lá então?

Passo 2

Vamos fazer a Transformada de Laplace da equação:

y ' ' - y ' = e t . cos ⁡ t

s 2 . Y s - s . y 0 - y ' 0 - s . Y s - y 0 = s - 1 s - 1 2 + 1

Sabemos do enunciado que y 0 = 0 e y ' 0 = 0 , então:

s 2 . Y s - s . 0 - 0 - s . Y s - 0 = s - 1 s - 1 2 + 1

Y s . s 2 - Y s . s = s - 1 s - 1 2 + 1

Colocando Y ( s ) em evidência:

Y s . ( s 2 - s ) = s - 1 s 2 - 2 s + 2

Y s = s - 1 s 2 - 2 s + 2 . ( s 2 - s )

Y s = s - 1 s 2 - 2 s + 2 . s . ( s - 1 )

Y s = 1 s 2 - 2 s + 2 . s

Agora precisamos encontrar a transformada inversa disso ok?

Passo 3

Temos

Y s = 1 s 2 - 2 s + 2 . s

Expandindo em frações parciais:

1 s 2 - 2 s + 2 . s = A s + B s 2 - 2 s + 2 + C s

E aí encontramos A = - 1 2 ,   B = 1 ,   C = 1 2

Então:

Y s = - 1 2 s + 1 s 2 - 2 s + 2 + 1 2 s

Fazendo a transformada inversa dessas frações separadamente, encontramos:

y t = 1 2 - 1 2 e t . cos ⁡ t + 1 2 e t . s e n ( t )

Resposta

y t = 1 2 - 1 2 e t . cos ⁡ t + 1 2 e t . s e n ( t )

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos problemas 1-26, use a Transformada de Laplace para resolver a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas. Quando apropriado, escreva f em termos de funções degrau unitário y
Nos problemas 1-26, use a Transformada de Laplace para resolver a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas. Quando apropriado, escreva f em termos de funções degrau unitário y
Nos problemas 29-38, use a transformada de Laplace para resolver a equação integral dada ou a equação íntegro-diferencial. f t = cos ⁡ t + ∫ 0 t e - τ f ( t - τ )d τ
Nos problemas 29-38, use a transformada de Laplace para resolver a equação integral dada ou a equação íntegro-diferencial. f t = t . e t + ∫ 0 t τf t - τ d τ
Nos problemas 29-38, use a transformada de Laplace para resolver a equação integral dada ou a equação íntegro-diferencial. f t = 2 t - 4 ∫ 0 t s e nτf t - τ d τ