Nos problemas 1-30, encontre uma segunda solução para cada equação diferencial. Use redução de ordem ou a fórmula (4) como ensinada. Suponha um intervalo apropriado.

y ' ' - 4 y ' + 4 y = 0 ;     y 1 = e 2 x

Passo 1

Olá, tudo bem?

Vamos encontrar uma outra solução pra essa EDO aqui:

y ' ' - 4 y ' + 4 y = 0

Vamos usar a redução de ordem.

Vamos definir:

y = u x ⋅ e 2 x

Aí teremos:

y ' = u ' e 2 x + 2 u e 2 x

y ' ' = u ' ' e 2 x + 2 u ' e 2 x + 2 u ' e 2 x + 4 u e 2 x

y ' ' = u ' ' e 2 x + 4 u ' e 2 x + 4 u e 2 x

Passo 2

Substituindo isso na EDO, ficamos com:

y ' ' - 4 y ' + 4 y = 0

u ' ' e 2 x + 4 u ' e 2 x + 4 u e 2 x - 4 u ' e 2 x + 2 u e 2 x + 4 u e 2 x = 0

u ' ' e 2 x = 0

Daqui então vemos que:

u ' ' = 0

Já que e 2 x ≠ 0 para todo x .

Passo 3

Agora, se u ' ' = 0 , temos:

u ' = c 1

u = c 1 x + c 2

E como: y = u x ⋅ e 2 x

y = c 1 x + c 2 ⋅ e 2 x

Fazendo c 1 = 1 e c 2 = 0 temos a nossa solução:

y = x e 2 x

Resposta

y 2 = x e 2 x

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