Suponha que r1 e r2 são raízes de ar² + br + c = 0 e que r1 ≠ r2; então, exp(r1t) e exp(r2t) são soluções da equação diferencial ay′′ + by′ + cy = 0. Mostre que φ(t; r1, r2) = [exp(r2t) –exp(r1t)]/(r2 – r1) também é solução da equação para r2 ≠ r1. Depois, pense em r1 como fixo e use a regra de L’Hôpital para calcular o limite de φ(t; r1, r2) quando r2 → r1 obtendo, assim, a segunda solução no caso de raízes iguais..

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para encontrarmos a solução para a equação. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser pensar que, por ser linear e homogênea, teremos a solução no seguinte formato:

a y 2 ' ' + b y 2 ' + c y 2 = 0

a y 1 ' ' + b y 1 ' + c y 1 = 0

a y 2 r 2 - r 1 ' ' - y 1 r 2 - r 1 ' ' + b   y 2 r 2 - r 1 ' -   y 1 r 2 - r 1 ' + c y 2 r 2 - r 1 - y 1 r 2 - r 1 = 0

a y 2 - y 1 r 2 - r 1 ' ' + b y 2 - y 1 r 2 - r 1 ' + c y 2 - y 1 r 2 - r 1 = 0

ϕ t ; r 1 , r 2 =   y 2 - y 1 r 2 - r 1 = exp ⁡ r 2 t - exp ⁡ r 1 t r 2 - r 1

Passo 3

Pronto!! Agora é só substituir os valores e achar a solução!!

lim ⁡ ϕ t ; r 1 , r 2 = l i m ⁡ exp ⁡ r 2 t - exp ⁡ r 1 t r 2 - r 1

lim ⁡ ϕ t ; r 1 , r 2 = t   e r 1 t

Resposta

lim ⁡ ϕ t ; r 1 , r 2 = t   e r 1 t

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