Enunciado

Nos problemas 1-32, resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.

y ' ' ' + y ' ' = 8 x ²

Passo 1

E aíí meu caro amigo, vamos lá?

Temos que resolver a equação diferencial usando o método dos coeficientes indeterminados

Pra começar, vamos ver quem é o operador que anula a função em x . No caso, temos que ver o operador que anula o 8 x ² , né?

Quem anula 8 x ² é o operador D ³ , afinal D ³ 8 x ² = 0

Agora vamos aplicar o operador D ³ na nossa equação:

D 5 . D + 1 y = 0

Dessa forma, temos

y = c 1 + c 2 x + c 3 . e - x + c 4 . x 4 + c 5 x 3 + c 6 x ²

Com y p = A x 4 + B x 3 + C x ² . Agora vamos aplicar y p na nossa equação para descobrirmos o valor de c 3

Passo 2

Aplicando y p na nossa equação, temos

12 A = 8

24 A + 6 B = 0

6 B + 2 C = 0

Então, temos A = 2 3 , B = - 8 3 e C = 8

Então, nossa solução é

y = c 1 + c 2 x + c 3 . e - x + 2 3 . x 4 - 8 3 x 3 + 8 x ²

Resposta

y = c 1 + c 2 x + c 3 . e - x + 2 3 . x 4 - 8 3 x 3 + 8 x ²

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