Enunciado

Nos problemas 21-32, encontre um operador diferencial que anule a função dada

e - x . s e n x - e 2 x . c o s ⁡ ( x )

Passo 1

E aíí meu jovem, vamos lá?

Nesse exercício, precisamos encontrar um operador diferencial que vai fazer a nossa função ser anulada, e pra isso vamos usar as regrinhas que vimos nessa seção do seu livro.

Então por exemplo, o operador D ³ anula a função x ² , pois

D 3 x 2 = 0

Então, vamos lá?

Passo 2

Temos a função e - x . s e n x - e 2 x . c o s ⁡ ( x )

Temos funções trigonométricas nos dois termos, então vamos usar a tática (5) do seu livro.

Ela fala que o operador [ D 2 - 2 α D + α 2 + β 2 n anula x n - 1 . e α x . c o s ⁡ ( β x ) e x n - 1 . e α x . s e n ⁡ ( β x )

Em e - x . s e n x temos n = 1 ,   α = - 1 e β = 1 , então o operador é:

[ D 2 - 2 . - 1 . D + ( - 1 ) 2 + 1 2 1

D 2 + 2 D + 2

Em e 2 x . c o s ⁡ ( x ) temos n = 1 ,   α = 2 e β = 1 , então o operador é:

[ D 2 - 2 . 2 . D + 2 2 + 1 2 1

D 2 - 4 D + 5

Então, o operador que anula nossa função como um todo é

( D 2 + 2 D + 2 ) . ( D 2 - 4 D + 5 )

Resposta

( D 2 + 2 D + 2 ) . ( D 2 - 4 D + 5 )

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