Nos problemas 1-40, encontre a solução geral para a equação diferencial dada. Especifique um intervalo no qual a solução geral é definida.

x * (dy/dx) + 4y = x^3 - x

Passo 1

Bom galera vamos lá matar mais um exercício

Temos aqui uma equação diferencial linear, porque ela pode ser escrita no formato d y d x + A x . y = B ( x ) , olha, vamos dividir tudo por x :

d y d x + 4 x y = x 3 - x x

d y d x + 4 x y = x 2 - 1       ( I )

Vimos que a solução de uma equação diferencial linear é dada por:

y x = 1 I x ∫ I x . B x   d x + c     ( I I )

Onde I x = e ∫ A x   d x

Na nossa equação ( I ) , temos A x = 4 x e B x = x 2 - 1 então:

I x = e ∫ 4 x   d x

I x = e 4   l n ⁡ | x |

I x = x 4

Belezinha, já temos o nosso fator de integração

Passo 2

Agora que temos o fator de integração, vamos substituir o que temos na expressão ( I I ) :

y x = 1 x 4 ∫ x 4 . ( x 2 - 1 )   d x + c     ( I I I )

Vamos resolver a integral separadamente:

∫ x 4 . x 2 - 1 d x = ∫ x 6 - x 4 d x

Usando a regra da integral de polinômio:

∫ x 4 . x 2 - 1 d x = x 7 7 - x 5 5

Substituindo em ( I I I )

y x = 1 x 4 x 7 7 - x 5 5 + c

y = x 3 7 - x 5 + c x 4

Com:

0 < x < + ∞

Boaaa, foi mais fácil do que parecia né?

Resposta

y = x 3 7 - x 5 + c x 4

0 < x < + ∞

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