Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 1.3 - Ex. 31
Uma terceira dedução da equação do pêndulo depende do principio do momento angular: A taxa de variação do momento angular em torno de qualquer ponto é igual ao momento externo total em torno do mesmo ponto.
- Mostre que o momento angular em torno do ponto de suporte é dado por .
- Iguale ao momento da força gravitacional e mostre que a equação resultante pode ser reduzida à Eq. (12). Note que os momentos positivos são no sentido trigonométrico (anti-horário).
Passo 1
Para resolvermos esse problema vamos analisar as informações dadas no enunciado e tentar descrever uma equação que satisfaça todos os requisitos do problema. Depois vamos seguir as dicas de cada item para encontrar as informações pedidas. Vamos juntos para resolver!!
Passo 2
- Temos que o momento angular é dado por . Onde é o momento linear, dado por . O nosso simboliza o valor do ângulo entre onde o objeto está e onde a força é aplicada. Como ambos estão no , teremos que não haverá o valor do seno, ficando apenas com
- Vamos usar a sugestão do nosso querido enunciado. Vamos derivar o momento e igualar ao momento da força gravitacional que será dado por
Como já vimos anteriormente, nosso . Substituindo então, ficamos com
Passo 3
O sinal negativo se da pelo fato de estar apontando sempre na direção contrária. Se derivarmos então, vamos ter
Como queríamos chegar
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
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Resolva a equação diferencial: x + 3 y 2 d y + y d x = 0 Dica: d x y = yd x + x d y
Resolva o problema de valor inicial: xd y + ( y - cos x ) d x = 0 , y π 2 = 0
Resolva a equação diferencial: xd y + 3 y - x - 2 cos x d x = 0 ,x0
Resolva o problema de valor inicial: x d y d x + 2 y = x 2 + 1,x0 , y 1 = 1
Resolva o problema de valor inicial: d y d x + 3 x 2 y = x 2 ,y 0 = - 1