Nos problemas 1-40, encontre a solução geral para a equação diferencial dada. Especifique um intervalo no qual a solução geral é definida.

(1 - x^3) * (dy/dx) = 3 * x^2 * y

Passo 1

Bom galera vamos lá matar mais um exercício

Temos aqui uma equação diferencial linear, porque ela pode ser escrita no formato d y d x + A x . y = B ( x ) , olha, dividindo tudo por 1 - x ³ :

d y d x = 3 x 2 y 1 - x ³  

d y d x - 3 x 2 1 - x 3 y = 0       ( I )

Vimos que a solução de uma equação diferencial linear é dada por:

y x = 1 I x ∫ I x . B x   d x + c     ( I I )

Onde I x = e ∫ A x   d x

Na nossa equação ( I ) , temos A x = - 3 x 2 1 - x 3 e B x = 0 então:

I x = e ∫ - 3 x 2 1 - x 3   d x

I x = e l n ⁡ | 1 - x ³ |

I x = 1 - x ³

Belezinha, já temos o nosso fator de integração

Passo 2

Agora que temos o fator de integração, vamos substituir o que temos na expressão ( I I ) :

y x = 1 1 - x ³ ∫ 0 . ( 1 - x ³ )   d x + c     ( I I I )

y x = 1 1 - x ³ c

y x = c 1 - x ³

Sendo que para o denominador não zerar:

1 < x < ∞

Boaaa, foi mais fácil do que parecia né?

Resposta

y x = c 1 - x ³

1 < x < ∞

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