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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 2.5 - Ex. 14

Nos problemas 1-40, encontre a solução geral para a equação diferencial dada. Especifique um intervalo no qual a solução geral é definida.

1 + x 2 d y + x y + x 3 + x d x = 0

Passo 1

Bom galera vamos lá matar mais um exercício

Temos aqui uma equação diferencial linear, porque ela pode ser escrita no formato d y d x + A x . y = B ( x ) , olha, dividindo tudo por d x :

1 + x 2 d y d x + x y + x 3 + x = 0

1 + x 2 d y d x + x y = - x 3 - x

Agora dividindo tudo por 1 + x ² :

d y d x + x 1 + x ² y = - x . ( x 2 + 1 ) x 2 + 1

d y d x + x 1 + x ² y = - x     ( I )

Vimos que a solução de uma equação diferencial linear é dada por:

y x = 1 I x ∫ I x . B x   d x + c     ( I I )

Onde I x = e ∫ A x   d x

Na nossa equação ( I ) , temos A x = x 1 + x ² e B x = - x então:

I x = e ∫ x 1 + x ²   d x

I x = e ln ⁡ 1 + x 2 2

I x = 1 + x 2 1 2

I x = 1 + x ²

Belezinha, já temos o nosso fator de integração

Passo 2

Agora que temos o fator de integração, vamos substituir o que temos na expressão ( I I ) :

y x = 1 1 + x ² ∫ 1 + x 2 . ( - x )   d x + c     ( I I I )

Vamos resolver a integral separadamente, temos

- ∫ 1 + x 2 . ( x ) d x

Fazendo a substituição u = 1 + x ² , temos d u = 2 x   d x , então

- ∫ 1 + x 2 . x d x = - 1 2 ∫ u   d u

Então

- ∫ 1 + x 2 . x d x = - 1 2 . 2 3 . u 3 2

Voltando para a variável x :

- ∫ 1 + x 2 . x d x = - 1 3 . x 2 + 1 3 2 = - x 2 + 1 . x 2 + 1 3

Substituindo em ( I I I ) :

y x = 1 1 + x ² - x 2 + 1 . x 2 + 1 3 + c

y x = - x 2 + 1 3 + c 1 + x ²

Sendo que não temos restrições em x :

- ∞ < x < ∞

Boaaa, foi mais fácil do que parecia né?

Resposta

y x = - x 2 + 1 3 + c 1 + x ²

- ∞ < x < ∞

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