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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 2.4 - Ex. 14

Nos problemas 1-24, verifique se a equação dada é exata. Se for, resolva.

3 x 2 y + e y d x + x 3 + x . e y - 2 y d y = 0

Passo 1

Pra começar, vamos lembrar a definição de equação exata:

Temos que

M x , y d x + N x , y d y = 0

É uma equação exata se a expressão M x , y d x + N x , y d y for uma diferencial exata, ou seja, se:

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

Passo 2

Vamos verificar se a equação 3 x 2 y + e y d x + x 3 + x . e y - 2 y d y = 0 é exata

Temos M ( x , y ) = 3 x 2 y + e y e N ( x , y ) = x 3 + x . e y - 2 y

Agora precisamos usar aquela definição que vimos no passo 1, vamos lá

Vamos verificar se ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

Temos:

∂ M ∂ y = ∂ 3 x 2 y + e y ∂ y

Derivando M em relação a y :

∂ M ∂ y = 3 x 2 + e y

Agora pro ∂ N ∂ x :

∂ N ∂ x = ∂ ( x 3 + x . e y - 2 y ) ∂ x

∂ N ∂ x = 3 x 2 + e y

Então, temos

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x = 3 x 2 + e y

Como a nossa equação é exata, agora vamos resolver

Passo 3

Nossa equação é 3 x 2 y + e y d x + x 3 + x . e y - 2 y d y = 0

Com M ( x , y ) = 3 x 2 y + e y e N ( x , y ) = x 3 + x . e y - 2 y

Para resolver, vamos supor

∂ f ∂ x = M ( x , y )

∂ f ∂ x = 3 x 2 y + e y

Agora vamos integrar em relação a x , aí conseguimos encontrar o f beleza?

Vamos também acrescentar um g ( y ) que vai ser a constante de integração

f = ∫ 3 x 2 y + e y   d x + g ( y )

Resolvendo a integral (lembrando que y é uma constante):

f = 3 y x 3 3 + e y . x + g ( y )

f = y . x ³ + e y . x + g ( y )

Passo 4

Temos

f = y . x 3 + e y . x + g y   ( I )

Agora vamos derivar f em relação a y e igualar isso a N ( x , y ) belezinha?

∂ f ∂ y = x 3 + x . e y + g ' ( y ) = N ( x , y )

Como N x , y = x 3 + x . e y - 2 y :

∂ f ∂ y = x 3 + x . e y + g ' ( y ) = x 3 + x . e y - 2 y

Então:

g ' y = x 3 - x 3 + x . e y - x . e y - 2 y

g ' y = - 2 y

Integrando em relação a y :

g y = - y 2   ( I I )

Substituindo ( I I ) em ( I ) :

f = y . x 3 + e y . x - y ²

A solução da equação diferencial exata é f x , y = c , então:

y . x 3 + e y . x - y 2 = c

Resposta

É   e x a t a

y . x 3 + e y . x - y 2 = c

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d y d x = 3 x 2 - 2 y - y 3 2 x + 3 x y 2
y ' = e x + y
d y d x + 2 y 2 + 6 x y - 4 3 x 2 + 4 x y + 3 y 2 = 0
2 x y - y x 2 + y 2 + x x 2 + y 2 - x 2 y 2 d y d x = 0
x + y + x + 2 y d y d x = 0 , y 2 = 3