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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 2.5 - Ex. 17

Nos problemas 1-40, encontre a solução geral para a equação diferencial dada. Especifique um intervalo no qual a solução geral é definida.

cos ⁡ x d y d x + y . s e n x = 1

Passo 1

Bom galera vamos lá matar mais um exercício

Temos aqui uma equação diferencial linear, porque ela pode ser escrita no formato d y d x + A x . y = B ( x ) , olha, dividindo tudo por c o s ⁡ ( x ) :

d y d x + y . s e n x cos ⁡ x = 1 cos ⁡ x

d y d x + tan ⁡ x . y = sec ⁡ x       ( I )

Vimos que a solução de uma equação diferencial linear é dada por:

y x = 1 I x ∫ I x . B x   d x + c     ( I I )

Onde I x = e ∫ A x   d x

Na nossa equação ( I ) , temos A x = t a n ⁡ ( x ) e B x = s e c ⁡ ( x ) então:

I x = e ∫ t a n ⁡ ( x )   d x

I x = e - l n ⁡ | c o s ⁡ ( x ) |

I x = 1 cos ⁡ x

Belezinha, já temos o nosso fator de integração

Passo 2

Agora que temos o fator de integração, vamos substituir o que temos na expressão ( I I ) :

y x = 1 1 cos ⁡ x ∫ 1 cos ⁡ x . s e c ⁡ ( x )   d x + c     ( I I I )

Vamos resolver a integral separadamente:

∫ 1 cos ⁡ x . s e c ⁡ ( x )   d x = ∫ s e c ² ( x )   d x

∫ 1 cos ⁡ x . s e c ⁡ ( x )   d x = t a n ⁡ ( x )

Substituindo em ( I I I )

y x = c o s ⁡ ( x ) t a n ⁡ ( x ) + c

y x = cos ⁡ x . tan ⁡ x + c . c o s ⁡ ( x )

Como tan ⁡ x = s e n x cos ⁡ x , temos

y x = s e n x + c . c o s ⁡ ( x )

Com:

- π 2 < x < π 2

Boaaa, foi mais fácil do que parecia né?

Resposta

y x = s e n x + c . c o s ⁡ ( x )

- π 2 < x < π 2

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