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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 2.4 - Ex. 16

Nos problemas 1-24, verifique se a equação dada é exata. Se for, resolva.

e y + 2 x y cosh ⁡ x y ' + x y 2   s e n h   x + y 2 cosh ⁡ x = 0

Passo 1

Pra começar, vamos lembrar a definição de equação exata:

Temos que

M x , y d x + N x , y d y = 0

É uma equação exata se a expressão M x , y d x + N x , y d y for uma diferencial exata, ou seja, se:

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

Passo 2

Vamos verificar se a equação e y + 2 x y cosh ⁡ x y ' + x y 2   s e n h   x + y 2 cosh ⁡ x = 0 é exata

O primeiro passo é escrevermos ela no formato M x , y d x + N x , y d y = 0 , e pra isso, vamos escrever y ' = d y d x :

e y + 2 x y cosh ⁡ x d y d x + ( x y 2   s e n h   x + y 2 cosh ⁡ x ) = 0

Multiplicando tudo por d x :

e y + 2 x y cosh ⁡ x d y + ( x y 2   s e n h   x + y 2 cosh ⁡ x ) d x = 0

x y 2   s e n h   x + y 2 cosh ⁡ x d x + e y + 2 x y cosh ⁡ x d y = 0

Então, temos M ( x , y ) = x y 2   s e n h   x + y 2 cosh ⁡ x e N ( x , y ) = e y + 2 x y cosh ⁡ x

Agora precisamos usar aquela definição que vimos no passo 1, vamos lá

Passo 3

Pra comprovarmos aquilo do passo 1, vamos verificar se ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

Temos:

∂ M ∂ y = ∂ x y 2   s e n h   x + y 2 cosh ⁡ x ∂ y

Derivando M em relação a y :

∂ M ∂ y = 2 x y . s e n h   x + 2 y cosh ⁡ x

Lembrando que nesse caso, s e n h   x e cosh ⁡ x são constantes, pois não dependem de y

Agora pro ∂ N ∂ x :

∂ N ∂ x = ∂ ( e y + 2 x y cosh ⁡ x ) ∂ x

Lembrando que cosh ⁡ x ' = s e n h   x e usando a regra do produto:

∂ N ∂ x = 2 y . cosh ⁡ x + 2 x y . s e n h   x

Então, temos

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x = 2 x y . s e n h   x + 2 y cosh ⁡ x

Logo, nossa equação é exata ;) agora bora resolver

Passo 4

Temos

x y 2   s e n h   x + y 2 cosh ⁡ x d x + e y + 2 x y cosh ⁡ x d y = 0

Com M ( x , y ) = x y 2   s e n h   x + y 2 cosh ⁡ x e N ( x , y ) = e y + 2 x y cosh ⁡ x

Para resolver, vamos supor

∂ f ∂ x = M ( x , y )

∂ f ∂ x = x y 2   s e n h   x + y 2 cosh ⁡ x

Agora vamos integrar em relação a x , aí conseguimos encontrar o f

Vamos também acrescentar um g ( y ) que vai ser a constante de integração

f = ∫ x y 2   s e n h   x + y 2 cosh ⁡ x   d x + g ( y )

f = ∫ x y 2   s e n h   x   d x + ∫ y 2 cosh ⁡ x d x + g y     ( I )

Passo 5

Vamos resolver as integrais separadamente

Em ∫ x y 2   s e n h   x   d x , y ² é uma constante, então:

∫ x y 2   s e n h   x   d x = y ² ∫ x . s e n h   x   d x

Vamos aplicar integração por partes com u = x e d v = s e n h   x

Assim, temos d u = 1 e v = cosh ⁡ x

∫ u   d v = u . v - ∫ v   d u

∫ x . s e n h   x   d x = x . cosh ⁡ x - ∫ cosh ⁡ x   d x

∫ x . s e n h   x   d x = x . cosh ⁡ x - s e n h   x + C

Então:

∫ x y 2   s e n h   x   d x = y ² ∫ x . s e n h   x   d x

∫ x y 2   s e n h   x   d x = y 2 x . cosh ⁡ x - s e n h   x + C   ( I I )

Agora a segunda integral: ∫ y 2 cosh ⁡ x d x

Como y ² é uma constante:

∫ y 2 cosh ⁡ x d x = y ² ∫ cosh ⁡ x d x

∫ y 2 cosh ⁡ x d x = y 2 . s e n h   x + C     ( I I I )

Ufa, resolvemos as duas integrais, agora é só substituir lá na expressão ( I )

Passo 6

Temos

f = ∫ x y 2   s e n h   x   d x + ∫ y 2 cosh ⁡ x d x + g y     ( I )

Substituindo ( I I ) e ( I I I ) em ( I )

f = y 2 x . cosh ⁡ x - s e n h   x + y 2 . s e n h   x + g y

f = y 2 x . cosh ⁡ x - s e n h   x + s e n h   x + g y

f = y 2 x . cosh ⁡ x + g y   ( I V )

Agora vamos derivar f em relação a y e igualar isso a N ( x , y )

∂ f ∂ y = 2 x y . cosh ⁡ x + g ' ( y ) = N ( x , y )

Como N x , y = e y + 2 x y cosh ⁡ x :

∂ f ∂ y = 2 x y . cosh ⁡ x + g ' ( y ) = e y + 2 x y cosh ⁡ x

Então:

g ' y = e y + 2 x y cosh ⁡ x - 2 x y cosh ⁡ x

g ' y = e y

Então: g y = e y   ( V )

Substituindo ( V ) em ( I V ) :

f = y 2 x . cosh ⁡ x + e y

A solução da equação diferencial exata é f x , y = c , então:

y 2 x . cosh ⁡ x + e y = c

Resposta

É   e x a t a

y 2 x . cosh ⁡ x + e y = c

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