Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 2.4 - Ex. 15

Nos problemas 1-24, verifique se a equação dada é exata. Se for, resolva.

1 - 3 x + y d x + 1 - 3 y + x d y = 0

Passo 1

Pra começar, vamos lembrar a definição de equação exata:

Temos que

M x , y d x + N x , y d y = 0

É uma equação exata se a expressão M x , y d x + N x , y d y for uma diferencial exata, ou seja, se:

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

Passo 2

Vamos verificar se a equação 1 - 3 x + y d x + 1 - 3 y + x d y = 0 é exata

Temos M ( x , y ) = 1 - 3 x + y e N ( x , y ) = 1 - 3 y + x

Agora precisamos usar aquela definição que vimos no passo 1, vamos lá

Vamos verificar se ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

Temos:

∂ M ∂ y = ∂ 1 - 3 x + y   ∂ y

Derivando M em relação a y :

∂ M ∂ y = 1

Agora pro ∂ N ∂ x :

∂ N ∂ x = ∂ 1 - 3 y + x ∂ x

∂ N ∂ x = 1

Então, temos

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x = 1

Como a nossa equação é exata, agora vamos resolver o/

Passo 3

Nossa equação é 1 - 3 x + y d x + 1 - 3 y + x d y = 0

Com M ( x , y ) = 1 - 3 x + y e N ( x , y ) = 1 - 3 y + x

Para resolver, vamos supor

∂ f ∂ x = M ( x , y )

∂ f ∂ x = 1 - 3 x + y

Agora vamos integrar em relação a x , aí conseguimos encontrar o f , sacou?

Vamos também acrescentar um g ( y ) que vai ser a constante de integração

f = ∫ 1 - 3 x + y   d x + g ( y )

Podemos separar na soma das integrais:

f = ∫ 1 d x - ∫ 3 x d x + ∫ y d x + g ( y )

Resolvendo as integrais (lembrando que y é uma constante):

f = x - 3 ln ⁡ x + x y + g ( y )

Passo 4

Temos

f = x - 3 ln ⁡ x + x y + g y     ( I )

Agora vamos derivar f em relação a y e igualar isso a N ( x , y ) belezinha?

∂ f ∂ y = x + g ' ( y ) = N ( x , y )

Como N x , y = 1 - 3 y + x :

∂ f ∂ y = x + g ' ( y ) = 1 - 3 y + x

Então:

g ' y = x - x + 1 - 3 y

g ' y = 1 - 3 y

Integrando em relação a y :

g y = y - 3 l n ⁡ | y |   ( I I )

Substituindo ( I I ) em ( I ) :

f = x - 3 ln ⁡ x + x y + y - 3 l n ⁡ | y |

f = x + x y + y - 3 ( ln ⁡ x + ln ⁡ y )

Por propriedade de logaritmo, temos que ln ⁡ a + ln ⁡ b = ln ⁡ a . b :

f = x + x y + y - 3 ln ⁡ | x y |

A solução da equação diferencial exata é f x , y = c , então:

x + x y + y - 3 ln ⁡ | x y | = c

Resposta

É   e x a t a

x + x y + y - 3 ln ⁡ | x y | = c

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos problemas 1-24, verifique se a equação dada é exata. Se for, resolva. ( x + y ) ( x - y ) d x + x ( x - 2 y ) d y = 0
Nos problemas 1-24, verifique se a equação dada é exata. Se for, resolva. 2 y - 1 x + cos ⁡ 3 x d y d x + y x 2 - 4 x 3 + 3 y s e n3 x = 0
Nos problemas 1-24, verifique se a equação dada é exata. Se for, resolva. 1 + ln ⁡ x + y x d x = ( 1 - ln ⁡ x )d y
Nos problemas 1-24, verifique se a equação dada é exata. Se for, resolva. x 3 + y 3 d x + 3 x y 2 d y = 0
Nos problemas 1-24, verifique se a equação dada é exata. Se for, resolva. y ln ⁡ y - e - x y d x + 1 y + x ln ⁡ y = 0