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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 2.5 - Ex. 32

Nos problemas 1-40, encontre a solução geral para a equação diferencial dada. Especifique um intervalo no qual a solução geral é definida.

32. d y d x - y = s e n h   x

Passo 1

Então pessoal, para esses problemas da seção 2.5 precisamos lembrar de algumas coisinhas, ok? Essa equação diferencial que nos foi dada é uma equação diferencial linear. O formato dessa equação é esse aqui:

d y d x + P . y = Q

No qual P e Q são funções APENAS de x . Caso a função não esteja escrita nesse formato, devemos manipular a equação a fim de deixa-la nesse formato padrão, belê? Show! O lado bom é que esse tipo de equação tem uma solução geral padrão, que é:

y = e - ∫ P d x . ∫ e ∫ P d x . Q d x + c

Eu sei, parece assustador essa solução, não é? Prometo que é só impressão!

Sendo assim, o que precisamos fazer é definir quem é P e quem é Q e depois resolver essas integrais. Então mãos a obra!

Passo 2

A equação que nos foi dada é:

d y d x - y = s e n h   x

Então teremos:

P x = - 1

Q x = s e n h   x

Show!

Passo 3

Agora que encontramos P e Q vamos substituir na nossa solução geral:

y = e - ∫ P d x . ∫ e ∫ P d x . Q d x + c

y = e ∫ 1 d x . ∫ e - ∫ 1 d x . s e n h   x d x + c

Para as integrais dos expoentes, teremos:

∫ d x = x

Substituindo:

y = e x . ∫ e - x . s e n h   x d x + c

Lembrando que s e n h   x = 1 2 e x - e - x , teremos:

y = e x . ∫ e - x . 1 2 e x - e - x d x + c

y = e x . ∫ . 1 2 1 - e - 2 x d x + c

y = e x . 1 2 ∫ d x - 1 2 ∫ e - 2 x d x + c

Beleza! Resolvemos as integrais dos expoentes e simplificamos tudo. Agora que fizemos isso vamos para o último passo (AMÉM)!

Passo 4

O último passo da nossa resolução consiste em, obviamente, resolver essas últimas integrais que apareceram aí para complicar nossa vida. A primeira integral é:

∫ d x

O resultado dessa integral é bastante conhecido, saca só:

∫ d x = x

Ok, primeira integral resolvida. A segunda integral é:

∫ e - 2 x d x

Para resolve-la vamos utilizar uma substituiçãozinha simples, tudo bem? A substituição será:

u = - 2 x

d u = - 2 d x ⇒ - 1 2 d u = d x

Substituindo:

- 1 2 ∫ e u d u = - 1 2 e u

Voltando para a variável x , teremos:

∫ e - 2 x d x = - 1 2 e - 2 x

Ok, segunda integral resolvida!

Passo 5

Agora que resolvemos todas as integrais que aparecem no problema (EU SEI, É CANSATIVO), basta substituirmos os resultados na solução geral:

y = e x . 1 2 ∫ d x - 1 2 ∫ e - 2 x d x + c

y = e x . 1 2 x + 1 4 e - 2 x + c

∴ y = e x 1 2 x + 1 4 e - 2 x + e x c

E está aí nosso resultado!

OBS: Note que omitimos a constante arbitrária c em todas as integrações que fizemos, mas isso só ocorre porque a constante já aparece na nossa solução geral, tudo bem? Se não aparecesse, precisaríamos colocar todas as constantes, mas ainda bem que não precisamos, não é? hahaha! 😉

Resposta

y = e x 1 2 x + 1 4 e - 2 x + e x c

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