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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 7.5 - Ex. 35

Nos problemas 29-38, use a transformada de Laplace para resolver a equação integral dada ou a equação íntegro-diferencial.

f t = 1 + t - 8 3 ∫ 0 t f τ - t 3 f ( τ )   d τ

Passo 1

Bora lá?

Temos a equação:

f t = 1 + t - 8 3 ∫ 0 t f τ - t 3 f ( τ )   d τ

E vamos usar a Transformada de Laplace para encontrarmos f ( t ) , beleza?

Mas antes de começarmos, vamos lembrar algumas Transformadas de Laplace:

L y t = Y ( s )

L y ' t = s . Y s - y ( 0 )

L y ' ' t = s 2 . Y s - s . y 0 - y ' ( 0 )

L 1 = 1 s

L t n = n ! s n + 1

L e α t = 1 s - α

L c o s ⁡ ( k t ) = s s 2 + k ²

L s e n ⁡ ( k t ) = k s 2 + k ²

E vamos lembrar também que a convolução ∫ 0 t f t - τ g t d τ no domínio do tempo é a multiplicação no domínio s , certo?

Vamos lá então?

Passo 2

Vamos fazer a Transformada de Laplace da equação:

f t = 1 + t - 8 3 ∫ 0 t f τ - t 3 f ( τ )   d τ

Em ∫ 0 t f τ - t 3 f ( τ )   d τ temos a convolução de f ( t ) com t ³ então podemos escrever como a multiplicação das suas transformadas

F s = 1 s + 1 s 2 - 8 3 F s . 6 s 4

F s . 1 + 8.6 3 s 4 = 1 s + 1 s 2

F s . 1 + 48 3 s 4 = 1 s + 1 s 2

F s . 3 s 4 + 48 3 s 4 = s + 1 s 2

F s . s 4 + 16 s 4 = s + 1 s 2

Passando tudo pro outro lado, isolando F ( s ) :

F s = s 4 . ( s + 1 ) s 2 . ( s 4 + 16 )

F s = s ² . ( s + 1 ) ( s 4 + 16 )

F s = s ² . ( s + 1 ) ( s - 2 ) ( s + 2 ) ( s 2 + 4 )

Agora precisamos encontrar a transformada inversa disso ok?

Passo 3

Temos

F s = s ² . ( s + 1 ) ( s - 2 ) ( s + 2 ) ( s 2 + 4 )

Expandindo em frações parciais, encontramos

F s = 3 8 . 1 s - 2 + 1 8 . 1 s + 2 + 1 2 . s s 2 + 4 + 1 4 . 2 s 2 + 4

Fazendo a transformada inversa, de acordo com as informações do passo 1, temos:

f t = 3 8 e 2 t + 1 8 e - 2 t + 1 2 cos ⁡ 2 t + 1 4 s e n ( 2 t )

E fimmm

Resposta

f t = 3 8 e 2 t + 1 8 e - 2 t + 1 2 cos ⁡ 2 t + 1 4 s e n ( 2 t )

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