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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 7.5 - Ex. 21

Nos problemas 1-26, use a Transformada de Laplace para resolver a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas. Quando apropriado, escreva f em termos de funções degrau unitário

y ' + 2 y = f t

Em que f t = t ,   0 ≤ t < 1 0 ,   t ≥ 1 ,   y 0 = 0

Passo 1

Oii, como vai? Vamos lá matar esse probleminha

Temos a equação diferencial:

y ' + 2 y = f t

Em que f t = t ,   0 ≤ t < 1 0 ,   t ≥ 1 ,   y 0 = 0

Que podemos escrever assim:

y ' ' + 2 y = t - t . u ( t - 1 ) ,   y 0 = 0

Mas não vamos usar aqueles conceitos antigos para resolver essas equações ok? Vamos utilizar a Transformada de Laplace

Então, vamos fazer a transformada de Laplace da nossa equação, isolar o Y ( s ) e aí depois encontramos a transformada inversa, para termos y ( t )

Mas antes de começarmos, vamos lembrar algumas Transformadas de Laplace:

L y t = Y ( s )

L y ' t = s . Y s - y ( 0 )

L y ' ' t = s 2 . Y s - s . y 0 - y ' ( 0 )

L 1 = 1 s

L t n = n ! s n + 1

L e α t = 1 s - α

L c o s ⁡ ( k t ) = s s 2 + k ²

L s e n ⁡ ( k t ) = k s 2 + k ²

Vamos lá então?

Passo 2

Vamos fazer a Transformada de Laplace da equação:

y ' ' + 2 y = t - t . u t - 1

s . Y s - y 0 + 2 Y s = 1 s 2 - e - s . s + 1 s ²

Sabemos do enunciado que y 0 = 0

s . Y s - 0 + 2 Y s = 1 s 2 - e - s . s + 1 s ²

Colocando Y ( s ) em evidência:

Y s . ( s + 2 ) = 1 s 2 - e - s . s + 1 s ²

Y s = 1 s + 2 1 s 2 - e - s . s + 1 s ²

Y s = 1 - e - s ( s + 1 ) s ² ( s + 2 )

Agora precisamos encontrar a transformada inversa disso ok?

Passo 3

Temos

Y s = 1 - e - s ( s + 1 ) s ² ( s + 2 )

Y s = 1 s ² ( s + 2 ) + - e - s ( s + 1 ) s ² ( s + 2 )

Y s = 1 s ² ( s + 2 ) - e - s s + 1 s 2 s + 2

Expandindo em frações parciais, temos:

Y s = - 1 4 . 1 s + 1 2 . 1 s 2 + 1 4 . 1 s + 2 - e - s - 1 4 . 1 s + 1 2 . 1 s 2 - 1 4 . 1 s + 2

Fazendo a transformada inversa, de acordo com as informações do passo 1, temos

y t = - 1 4 + 1 2 t + 1 4 e - 2 t - 1 4 + 1 2 t - 1 - 1 4 e - 2 t - 1 u ( t - 1 )

Resposta

y t = - 1 4 + 1 2 t + 1 4 e - 2 t - 1 4 + 1 2 t - 1 - 1 4 e - 2 t - 1 u ( t - 1 )

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Nos problemas 1-26, use a Transformada de Laplace para resolver a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas. Quando apropriado, escreva f em termos de funções degrau unitário 2