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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 7.5 - Ex. 26

Nos problemas 1-26, use a Transformada de Laplace para resolver a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas. Quando apropriado, escreva f em termos de funções degrau unitário

y ' ' + 4 y ' + 3 y = 1 - u t - 2 - u t - 4 + u t - 6 ,       y 0 = 0 ,     y ' 0 = 0

Passo 1

Oii, como vai? Vamos lá matar esse probleminha

Temos a equação diferencial:

y ' ' + 4 y ' + 3 y = 1 - u t - 2 - u t - 4 + u t - 6 ,       y 0 = 0 ,     y ' 0 = 0

Mas não vamos usar aqueles conceitos antigos para resolver essas equações ok? Vamos utilizar a Transformada de Laplace

Então, vamos fazer a transformada de Laplace da nossa equação, isolar o Y ( s ) e aí depois encontramos a transformada inversa, para termos y ( t )

Mas antes de começarmos, vamos lembrar algumas Transformadas de Laplace:

L y t = Y ( s )

L y ' t = s . Y s - y ( 0 )

L y ' ' t = s 2 . Y s - s . y 0 - y ' ( 0 )

L 1 = 1 s

L t n = n ! s n + 1

L e α t = 1 s - α

L c o s ⁡ ( k t ) = s s 2 + k ²

L s e n ⁡ ( k t ) = k s 2 + k ²

Vamos lá então?

Passo 2

Vamos fazer a Transformada de Laplace da equação:

y ' ' + 4 y ' + 3 y = 1 - u t - 2 - u t - 4 + u t - 6

s 2 . Y s - s . y 0 - y ' ( 0 ) + + 4 s . Y s - y 0 + 3 Y s = 1 s - e - 2 s s - e - 4 s s + e - 6 s s

Sabemos do enunciado que y 0 = 0 e y ' 0 = 0

s 2 . Y s - s . 0 - 0 + + 4 s . Y s - 0 + 3 Y s = 1 s - e - 2 s s - e - 4 s s + e - 6 s s

Y s . s 2 + Y s . 4 s + Y s . 3 = 1 s - e - 2 s s - e - 4 s s + e - 6 s s

Colocando Y ( s ) em evidência:

Y s . s 2 + 4 s + 3 = 1 s - e - 2 s s - e - 4 s s + e - 6 s s

Y s = 1 s s 2 + 4 s + 3 - e - 2 s s s 2 + 4 s + 3 - e - 4 s s s 2 + 4 s + 3 + e - 6 s s s 2 + 4 s + 3

Agora precisamos encontrar a transformada inversa disso ok?

Passo 3

Temos

Y s = 1 s s 2 + 4 s + 3 - e - 2 s s s 2 + 4 s + 3 - e - 4 s s s 2 + 4 s + 3 + e - 6 s s s 2 + 4 s + 3

Y s = 1 s ( s + 1 ) ( s + 3 ) - e - 2 s s ( s + 1 ) ( s + 3 ) - e - 4 s s ( s + 1 ) ( s + 3 ) + e - 6 s s ( s + 1 ) ( s + 3 )

Expandindo em frações parciais, temos:

Y s = 1 3 . 1 s - 1 2 . 1 s + 1 + 1 6 . 1 s + 3 - e - 2 s 1 3 . 1 s - 1 2 . 1 s + 1 + 1 6 . 1 s + 3 - e - 4 s 1 3 . 1 s - 1 2 . 1 s + 1 + 1 6 . 1 s + 3 + e - 6 s 1 3 . 1 s - 1 2 . 1 s + 1 + 1 6 . 1 s + 3

Fazendo a transformada inversa, de acordo com as informações do passo 1, temos:

y t = 1 3 - 1 2 e - t + 1 6 e - 3 t - 1 3 - 1 2 e - t + 1 6 e - 3 t - 2 u t - 2 - 1 3 - 1 2 e - t + 1 6 e - 3 t - 4 u t - 4 + 1 3 - 1 2 e - t + 1 6 e - 3 t - 6 u t - 6

Resposta

y t = 1 3 - 1 2 e - t + 1 6 e - 3 t - 1 3 - 1 2 e - t + 1 6 e - 3 t - 2 u t - 2 - 1 3 - 1 2 e - t + 1 6 e - 3 t - 4 u t - 4 + 1 3 - 1 2 e - t + 1 6 e - 3 t - 6 u t - 6

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Nos problemas 27 e 28, use a transformada de Laplace para resolver a equação diferencial dada sujeita às condições de contorno indicadas. y ' ' - 9 y ' + 20 y = 1 ,y 0 = 0 , y ' 1 = 0
Nos problemas 27 e 28, use a transformada de Laplace para resolver a equação diferencial dada sujeita às condições de contorno indicadas. y ' ' + 2 y ' + y = 0 ,y ' 0 = 2 ,y 1 = 2
Nos problemas 29-38, use a transformada de Laplace para resolver a equação integral dada ou a equação íntegro-diferencial. f t + 2 ∫ 0 t f ( τ )c o s t - τ d τ = 4 e - t + s e n ( t )
Use o procedimento exposto no problema 61 para encontrar uma solução para o problema de valor inicial y ' ' + y = sec ⁡ t ,y 0 = 0 ,y ' 0 = 0
Nos problemas 59 e 60 use a transformada de Laplace e o Teorema 7.7 para encontrar uma solução para a equação dada t y ' ' + 2 t y ' + 2 y = 0 ,y 0 = 0