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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 7.5 - Ex. 37

Nos problemas 29-38, use a transformada de Laplace para resolver a equação integral dada ou a equação íntegro-diferencial.

y ' t = 1 - s e n t - ∫ 0 t y τ d τ ,         y 0 = 0

Passo 1

Bora lá?

Temos a equação:

y ' t = 1 - s e n t - ∫ 0 t y τ d τ ,         y 0 = 0

E vamos usar a Transformada de Laplace para encontrarmos f ( t ) , beleza?

Mas antes de começarmos, vamos lembrar algumas Transformadas de Laplace:

L y t = Y ( s )

L y ' t = s . Y s - y ( 0 )

L y ' ' t = s 2 . Y s - s . y 0 - y ' ( 0 )

L 1 = 1 s

L t n = n ! s n + 1

L e α t = 1 s - α

L c o s ⁡ ( k t ) = s s 2 + k ²

L s e n ⁡ ( k t ) = k s 2 + k ²

E vamos lembrar também que a convolução ∫ 0 t f t - τ g t d τ no domínio do tempo é a multiplicação no domínio s , certo?

Vamos lá então?

Passo 2

Vamos fazer a Transformada de Laplace da equação:

y ' t = 1 - s e n t - ∫ 0 t y τ d τ

Em ∫ 0 t y τ d τ temos a convolução de y ( t ) com 1 então podemos escrever como a multiplicação das suas transformadas

s . Y s - y 0 = 1 s - 1 s 2 + 1 - Y s . 1 s

Sabemos que y 0 = 0 :

s . Y s - 0 = 1 s - 1 s 2 + 1 - Y s . 1 s

Y s . s + 1 s = 1 s - 1 s 2 + 1

Y s . s + 1 s = 1 s - 1 s 2 + 1

Isolando Y ( s ) :

Y s = 1 s . s + 1 s - 1 ( s 2 + 1 ) . s + 1 s

Multiplicando o numerador e o denominador da segunda fração por s :

Y s = 1 s 2 + 1 - s ( s 2 + 1 ) . s 2 + 1

Y s = 1 s 2 + 1 - s ( s 2 + 1 ) ²

Agora precisamos encontrar a transformada inversa disso ok?

Passo 3

Temos

Y s = 1 s 2 + 1 - s ( s 2 + 1 ) ²

Podemos manipular algebricamente, escrevendo a segunda fração assim:

Y s = 1 s 2 + 1 - 1 2 2 s ( s 2 + 1 ) ²

Fazendo a transformada inversa, de acordo com as informações do passo 1, temos:

f t = s e n t - 1 2 t . s e n ( t )

E fimmm

Resposta

f t = s e n t - 1 2 t . s e n ( t )

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