Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 7.4 - Ex. 26

Nos problemas 23-28, use (6) para encontrar f ( t )

L^(- 1) {(1)/(( s + 1 ) ²)}

Passo 1

Cara, primeiramente, quem é (6)?

É isso aqui olha:

L^(- 1) (F (s) . G (s)) = f (t) * g (t) ( I )

Ou seja, a multiplicação no domínio s é a convolução no domínio t

Então, vamos separar o nosso H ( s ) dado em uma multiplicação F (s) . G ( s ) :

H (s) = (1)/(( s + 1 ) ²)

H (s) = (1)/(s + 1) . (1)/(s + 1)

Logo, F (s) = (1)/(s + 1) e G (s) = (1)/(s + 1)

Agora precisamos encontrar suas transformadas inversas f ( t ) e g ( t ) , pra aí usarmos ( I ) , ok?

Passo 2

Queremos encontrar:

L^(- 1) {F (s) . G (s)} = f (t) * g ( t )

L^(- 1) {(1)/(( s + 1 ) ²)} = f (t) * g (t) ( I I )

Onde:

f (t) = L^(- 1) {(1)/(s + 1)}

g (t) = L^(- 1) {(1)/(s + 1)}

Usando o teorema 7.3 do seu livro, temos:

f (t) = e^(- t)

g (t) = e^(- t)

Agora é só aplicar em ( I I ) :D

Passo 3

Substituindo f ( t ) e g ( t ) em ( I I ) , temos:

L^(- 1) {(1)/(( s + 1 ) ²)} = e^(- t) * e^(- t)

Pela fórmula de convolução:

L^(- 1) {(1)/(( s + 1 ) ²)} = int_0^t e^(- tau) . e^(- (t - tau)) d tau

L^(- 1) {(1)/(( s + 1 ) ²)} = int_0^t e^(- tau) . e^(- t) . e^(tau) d tau

L^(- 1) {(1)/(( s + 1 ) ²)} = e^(- t) int_0^t d tau

Resolvendo a integral:

L^(- 1) {(1)/(( s + 1 ) ²)} = e^(- t) [tau]_(tau = 0)^(tau = t)

L^(- 1) {(1)/(( s + 1 ) ²)} = e^(- t) (t - 0)

L^(- 1) {(1)/(( s + 1 ) ²)} = t . e^(- t)

E acabamosss

Resposta

L^(- 1) {(1)/(( s + 1 ) ²)} = t . e^(- t)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre a transformada de Laplace da função dada. f ( t ) = ∫ 0 t ( t - τ ) e τ d τ
Nos problemas 31-38, use o teorema 7.10 para encontrar a transformada de Laplace da função periódica dada. f u n ç ã od e n t ed es e r r a çã
Nos problemas 23-28, use (6) para encontrar f ( t ) L^(- 1) {(1)/(s (s ² + 1))} ²
Nos problemas 23-28, use (6) para encontrar f ( t ) L^(- 1) {(1)/(( s^2 + 4 s + 5 ) ²)} ²