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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 2.4 - Ex. 31

Nos problemas 31-34, encontre o valor de k para que a equação diferencial dada seja exata.

y 3 + k x y 4 - 2 x d x + 3 x y 2 + 20 x 2 y 3 d y = 0

Passo 1

Vamos lembrar a definição de equação exata:

Temos que

M x , y d x + N x , y d y = 0

É uma equação exata se a expressão M x , y d x + N x , y d y for uma diferencial exata, ou seja, se:

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

Passo 2

Vamos ver qual deve ser o valor de k para que a equação y 3 + k x y 4 - 2 x d x + 3 x y 2 + 20 x 2 y 3 d y = 0

Seja exata

Temos M x , y = y 3 + k x y 4 - 2 x e N x , y = 3 x y 2 + 20 x 2 y 3

Para que a equação seja exata, devemos seguir o critério do passo 1

Vamos começar calculando ∂ M ∂ y

∂ M ∂ y = ∂ ( y 3 + k x y 4 - 2 x ) ∂ y

Como k é uma constante, temos:

∂ M ∂ y = 3 y 2 + 4 k x . y ³

Agora vamos calcular ∂ N ∂ x

∂ N ∂ x = ∂ ( 3 x y 2 + 20 x 2 y 3 ) ∂ x

∂ N ∂ x = 3 y 2 + 40 y 3 . x

Passo 3

Para que a equação seja exata, devemos ter ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

3 y 2 + 4 k x . y 3 = 3 y 2 + 40 y 3 . x

Agora é o momento de brilhar, com essa igualdade, podemos encontrar o valor de k para que as derivadas parciais sejam iguais

Basicamente, como temos 3 y ² dos dois lados da igualdade, o termo que multiplica x y ³ do lado esquerdo tem que ser igual o termo que multiplica x y ³ do lado direito:

4 k = 40

k = 10

Então, para k = 10 as derivadas parciais são iguais e, consequentemente, a nossa equação é exata

Resposta

k = 10

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