Nos problemas 31-34, encontre o valor de k para que a equação diferencial dada seja exata. y 3 + k x y 4 - 2 x d x + 3 x y 2 + 20 x 2 y 3 d y = 0

Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 2.4 - Ex. 31

Nos problemas 31-34, encontre o valor de para que a equação diferencial dada seja exata.

Passo 1

Vamos lembrar a definição de equação exata:

Temos que

É uma equação exata se a expressão for uma diferencial exata, ou seja, se:

Passo 2

Vamos ver qual deve ser o valor de para que a equação

Seja exata

Temos e

Para que a equação seja exata, devemos seguir o critério do passo 1

Vamos começar calculando

Como é uma constante, temos:

Agora vamos calcular

Passo 3

Para que a equação seja exata, devemos ter

Agora é o momento de brilhar, com essa igualdade, podemos encontrar o valor de para que as derivadas parciais sejam iguais

Basicamente, como temos dos dois lados da igualdade, o termo que multiplica do lado esquerdo tem que ser igual o termo que multiplica do lado direito:

Então, para as derivadas parciais são iguais e, consequentemente, a nossa equação é exata

Resposta

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Nos problemas 25-30, resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada. x + y 2 d x + 2 x y + x 2 - 1 d y = 0 , y 1 = 1

Nos problemas 25-30, resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada. 1 1 + y ² + cos ⁡ x - 2 x y d y d x = y ( y + s e n x ) , y 0 = 1 ²

Nos problemas 25-30, resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada. e x + y d x + 2 + x + y e y d y = 0 , y 0 = 1

Mostre que qualquer equação diferencial separável de primeira ordem na forma h y d y - g x d x = 0 é também exata

Nos problemas 37-42, resolva a equação diferencial dada, verificando que a função indicada μ ( x , y ) seja um fator de integração 6 x yd x + 4 y + 9 x 2 d y = 0 , μ x , y = y ² ²