Enunciado
Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 2.4 - Ex. 25
Nos problemas 25-30, resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.
Passo 1
Nesses exercícios, vamos trabalhar com equações diferenciais exatas, mas antes de resolver, precisamos provar que cada uma delas é exata ok?
Vamos lembrar a definição de equação exata:
Temos que
É uma equação exata se a expressão for uma diferencial exata, ou seja, se:
Passo 2
Provando que a equação diferencial é exata
Vamos verificar se a equação é exata
Ela já está escrita no formato
Então, temos e
Agora precisamos usar aquela definição que vimos no passo 1, vamos lá
Passo 3
Pra comprovarmos aquilo do passo 1, vamos verificar se
Temos:
Derivando em relação a (usando a regra do quociente):
Agora pro :
Então, temos
Boaaa, provamos que a equação é exata, agora vamos lá resolver
Passo 4
Encontrando a solução genérica da equação diferencial exata
Temos
Onde e
Para resolver, vamos supor
Agora vamos integrar em relação a , aí conseguimos encontrar o
Vamos também acrescentar um que vai ser a constante de integração
Resolvendo a integral:
Passo 5
Temos
Agora vamos derivar em relação a e igualar isso a
Como :
Então:
Integrando em relação a :
Substituindo em :
A solução genérica da equação diferencial exata é , então:
Masss, ainda falta aplicarmos o problema do valor inicial nessa solução genérica, vamos lá
Passo 6
Resolvendo o problema de valor inicial
A solução genérica da nossa equação diferencial é
Onde é uma constante
Mas temos que , então podemos descobrir o valor de para encontrarmos uma solução única
Substituindo e :
Então, a solução da nossa equação diferencial com o problema de valor inicial dado é: