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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 2.3 - Ex. 29

Nos problemas 11-30, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada.

x 2 + x y - y 2 d x + x y   d y = 0

Passo 1

Olá, tudo bem?

Olha só, nesses casos a gente sempre faz uma substituição para transformar a equação em uma equação diferencial separável. Esse livro apresenta duas substituições possíveis: y = u x     e     x = v y .

Geralmente a gente usa a x = v y quando a parte M ( x , y ) (a que acompanha o d x ) é mais simples do que N   ( x , y ) , do contrário, usamos y = u x .

Olhando nossa equação...

x 2 + x y - y 2 d x + x y   d y = 0

Vemos que a parte N ( x , y ) é mais simples, então vamos usar a substituição y = u x .

Passo 2

Vamos lá, se y = u x , temos d y = u   d x + x   d u . Vamos substituir isso na nossa equação então...

x 2 + x y - y 2 d x + x y   d y = 0

x 2 + u x 2 - u 2 x 2 d x + u x 2 u   d x + x   d u = 0

x 2 d x + u x 2 d x - u 2 x 2 d x + u 2 x 2 d x + u x 3 d u = 0

x 2 d x + u x 2 d x + u x 3 d u = 0

d x + u   d x + u x   d u = 0

d x 1 + u = - u x   d u

d x x = - u 1 + u d u

Temos uma EDO separável agora (que já está separada haha), só precisamos integrar os dois lados...

Passo 3

Integrando, ficamos com:

∫ d x x = ∫ - u 1 + u

ln ⁡ | x | = u - ln ⁡ u + 1 + C

Como y = u x , temos u = y x :

ln ⁡ | x | - y x + ln ⁡ y x + 1 = C

E pronto! Equação resolvida😊

Resposta

ln ⁡ | x | - y x + ln ⁡ y x + 1 = C

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Suponha que M x , y d x + N x , y d y = 0 seja uma equação homogênea. Mostre que a substituição x = r cos ⁡ θ ,y = r sen ⁡ θ transforma a equação separável.