Mostre que qualquer equação diferencial separável de primeira ordem na forma h y d y - g x d x = 0 é também exata

Passo 1

Pra começar, vamos lembrar a definição de equação exata:

Temos que

M x , y d x + N x , y d y = 0

É uma equação exata se a expressão M x , y d x + N x , y d y for uma diferencial exata, ou seja, se:

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

Passo 2

Vamos mostrar que a equação h y d y - g x d x = 0 é sempre exata

Ela já está escrita no formato M x , y d x + N x , y d y = 0

Então, temos M x , y = - g ( x ) e N x , y = h ( y )

Agora vamos usar aquela definição lá do passo 1

Passo 3

Pra comprovarmos aquilo do passo 1, vamos verificar se ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

Temos:

∂ M ∂ y = ∂ - g ( x ) ∂ y

x é uma constante em relação a y , então

∂ M ∂ y = 0

Agora pro ∂ N ∂ x :

∂ N ∂ x = ∂ h ( y ) ∂ x

O y é uma constante em relação ao x , então

∂ N ∂ x = 0

Então, temos

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x = 0

Então, uma equação diferencial separável no formato h y d y - g x d x = 0 é sempre exata :D

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o

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