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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 2.4 - Ex. 33

Nos problemas 31-34, encontre o valor de k para que a equação diferencial dada seja exata.

2 x y 2 + y . e x d x + 2 x 2 y + k . e x - 1 d y = 0

Passo 1

Vamos lembrar a definição de equação exata:

Temos que

M x , y d x + N x , y d y = 0

É uma equação exata se a expressão M x , y d x + N x , y d y for uma diferencial exata, ou seja, se:

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

Passo 2

Vamos ver qual deve ser o valor de k para que a equação 2 x y 2 + y . e x d x + 2 x 2 y + k . e x - 1 d y = 0

Seja exata

Temos M x , y = 2 x y 2 + y . e x e N x , y = 2 x 2 y + k . e x - 1

Para que a equação seja exata, devemos seguir o critério do passo 1

Vamos começar calculando ∂ M ∂ y

∂ M ∂ y = ∂ ( 2 x y 2 + y . e x ) ∂ y

Como k é uma constante, temos:

∂ M ∂ y = 4 x y + e x

Agora vamos calcular ∂ N ∂ x

∂ N ∂ x = ∂ ( 2 x 2 y + k . e x - 1 ) ∂ x

∂ N ∂ x = 4 x y + k . e x

Passo 3

Para que a equação seja exata, devemos ter ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

4 x y + e x = 4 x y + k . e x

Agora é o momento de brilhar, com essa igualdade, podemos encontrar o valor de k para que as derivadas parciais sejam iguais

Basicamente, como todos os termos são iguais de um lado e do outro, o termo que multiplica e x do lado esquerdo tem que ser igual o termo que multiplica e x do lado direito:

k = 1

Então, para k = 1 as derivadas parciais são iguais e, consequentemente, a nossa equação é exata

Resposta

k = 1

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