Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 2.4 - Ex. 33

Nos problemas 31-34, encontre o valor de para que a equação diferencial dada seja exata.

Passo 1

Vamos lembrar a definição de equação exata:

Temos que

É uma equação exata se a expressão for uma diferencial exata, ou seja, se:

Passo 2

Vamos ver qual deve ser o valor de para que a equação

Seja exata

Temos e

Para que a equação seja exata, devemos seguir o critério do passo 1

Vamos começar calculando

Como é uma constante, temos:

Agora vamos calcular

Passo 3

Para que a equação seja exata, devemos ter

Agora é o momento de brilhar, com essa igualdade, podemos encontrar o valor de para que as derivadas parciais sejam iguais

Basicamente, como todos os termos são iguais de um lado e do outro, o termo que multiplica do lado esquerdo tem que ser igual o termo que multiplica do lado direito:

Então, para as derivadas parciais são iguais e, consequentemente, a nossa equação é exata

Resposta

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Determine uma função n ( x , y ) para que a seguinte equação diferencial seja exata: y 1 2 . x - 1 2 + x x 2 + yd x + N ( x , y ) d y = 0

Determine uma função M ( x , y ) para que a seguinte equação diferencial seja exata: M x , y d x + x . e x y + 2 x y + 1 x d y = 0

Nos problemas 37-42, resolva a equação diferencial dada, verificando que a função indicada μ ( x , y ) seja um fator de integração y . ( x + y + 1 ) d x + ( x + 2 y ) d y = 0 , μ x , y = e x

Nos problemas 37-42, resolva a equação diferencial dada, verificando que a função indicada μ ( x , y ) seja um fator de integração ( x 2 + 2 x y - y ² ) d x + ( y 2 + 2 x y - x ² ) d y = 0 , μ x , y =

Nos problemas 37-42, resolva a equação diferencial dada, verificando que a função indicada μ ( x , y ) seja um fator de integração - y ²d x + x 2 + x y d y = 0 , μ x , y = 1 x ² y ² ²