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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 2.4 - Ex. 35

Determine uma função M ( x , y ) para que a seguinte equação diferencial seja exata:

M x , y d x + x . e x y + 2 x y + 1 x d y = 0

Passo 1

Vamos encontrar um M ( x , y ) para que M x , y d x + x . e x y + 2 x y + 1 x d y = 0

Seja uma equação exata

Na nossa equação, N x , y = x . e x y + 2 x y + 1 x

Mas lembra lá das resoluções de equação diferencial exata? Temos que

∂ f ∂ y = N ( x , y )

Então:

∂ f ∂ y = x . e x y + 2 x y + 1 x

Integrando dos dois lados em relação a y :

f = y x + e x y + x y 2 + g ( x )

Onde g ( x ) é a constante de integração

Passo 2

Temos

f = y x + e x y + x y 2 + g ( x )

Mas lembra que quando resolvemos uma equação diferencial exata, chamamos ∂ f ∂ x = M ( x , y ) ?

Então agora é só felicidade cara:

∂ f ∂ x = M ( x , y )

∂ f ∂ x = - y x 2 + e x y . y + y 2 + g ' ( x )

Então

M x , y = - y x 2 + e x y . y + y 2 + g ' ( x )

Logo, um M ( x , y ) para que a equação seja exata é

M x , y = - y x 2 + e x y . y + y 2

Resposta

M x , y = - y x 2 + e x y . y + y 2

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