Enunciado
Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 4.6 - Ex. 42
Nos problemas 41 e 42, determine a forma de uma solução particular para a equação diferencial dada.
42.
Passo 1
Então galera, assim como já estamos acostumados, inicialmente encontramos a equação complementar fazendo as substituições na nossa equação diferencial. Aplicando na nossa equação, teremos:
E então encontramos que:
Como as raízes são reais e distintas teremos a seguinte solução complementar:
Show! Primeira etapa concluída. Guardemos esse resultado!
Passo 2
Chamando de o lado direito da nossa equação, então tiramos que:
Aqui chegamos em um momento determinante da nossa resolução, pois precisamos aplicar um operador diferencial que anule . De acordo com o que vimos na seção em questão, quando temos uma função no formato , o seguinte operador anula nossa função:
No qual é o operador definido como . No nosso caso temos , então nosso primeiro operador será:
Quando temos uma função no formato , o seguinte operador anula nossa função:
No nosso caso temos e , então nosso segundo operador será:
E, por fim, quando temos uma função no formato , o seguinte operador anula nossa função:
Sendo assim, nosso operador total será . Aplicando na nossa equação, teremos:
E isso nos dá uma nova equação diferencial, viu só? Show de bola!
Passo 3
Como temos uma nova equação diferencial, então vamos encontrar uma equação complementar para ela. Fazendo , teremos:
Note que uma parte desse produto já foi resolvido no passo 1, então as raízes são:
Dessa forma, uma solução geral para nosso problema é o seguinte:
Observe que o termo é justamente a solução complementar que encontramos lá no passo 1. Sendo assim, podemos assumir que o que restou é a nossa solução particular, não é mesmo? Logo, teremos:
E está aí nossa resolução! 😉