Enunciado
Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 2.2 - Ex. 54
A uma pequena mudança (perturbação) na condição inicial ou na própria equação, frequentemente corresponde uma mudança radical na solução para uma equação diferencial. Nos Problemas 53-56 compare as soluções dos problemas de valor inicial dados.
54. , no qual .
Passo 1
Então galera, o nosso objetivo nessa questão é, primeiramente, resolver a equação diferencial da forma que estamos estudando, que é separando as variáveis, isto é, integrando tudo que tem de um lado e tudo que tem do outro, beleza? Show!
Quando a questão fala de condição inicial isso quer dizer que depois de resolvermos a equação diferencial, aplicando os pontos que a questão deu, conseguiremos determinar a constante arbitrária que surge na integração. O ponto dado serve exclusivamente para isso, tudo bem? Então vamos começar!
A equação que nos foi dada é:
Isolando as variáveis em cada lado da equação, teremos:
Opa! Variáveis devidamente separadas. Então simbora para o último passo!
Passo 2
Agora que isolamos as variáveis o próximo passo é integrar ambos os lados, se liga:
Para a integral da esquerda vamos fazer uma substituição simples, tudo bem? A substituição será:
Substituindo, teremos:
Para resolvermos a integral assim devemos aplicar a seguinte regra:
Aplicando a ideia, teremos:
Voltando para :
Já a integral da direita tem um resultado bem tranquilo, saca só:
Top!
Passo 3
Por fim, igualando os resultados:
Juntando com teremos uma terceira constante que vamos chamar de , ok? Logo, nosso resultado será:
Note que agora que resolvemos a equação diferencial surgiu uma constante arbitrária, conforme discutimos no passo 1. Aplicando o ponto , teremos:
Sendo assim, nosso resultado para a condição inicial dada será:
E esse é nosso resultado! 😉