Enunciado
Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 3.Exercícios de Revisão - Ex. 8
8. Um projétil é atirado verticalmente no ar com uma velocidade inicial de . Supondo que a resistência do ar é proporcional ao quadrado da velocidade instantânea, o movimento é descrito pelo par de equações diferenciais:
Eixo dos positivo para cima, origem no solo de forma que em e:
Eixo dos positivo para baixo, origem na altura máxima de forma que em . A primeira e segunda equações descrevem o movimento do projétil subindo e descendo, respectivamente.
a) Determine a velocidade limite ou terminal do projétil em queda. Compare essa velocidade terminal com a obtida no problema 27 nos exercícios 3.2.
b) Prove que a velocidade de impacto do projétil é menor que a velocidade inicial . Pode também ser mostrado que o tempo necessário para atingir sua altura máxima é menor que o tempo que ele leva para cair dessa altura. Veja a figura 3.25.
Passo 1
a) Então galera, as equações que nos foram dadas são:
E:
Então o que temos que fazer é resolver essas equações! Antes de qualquer coisa vamos fazer uma substituição, ok? A substituição será:
Então nossas equações serão:
E:
Show!
Passo 2
Resolvendo a primeira equação, teremos:
Isso nos dá como resultado:
Já aplicando as condições iniciais, claro! Fazendo , teremos que a altura máxima ocorrerá em:
Passo 3
Resolvendo a segunda equação, teremos:
Isso nos dá como resultado:
Já aplicando as condições iniciais, claro!
Aplicando para calcularmos a velocidade terminal, teremos:
Passo 4
b) Fazendo teremos que a velocidade de impacto será:
E essa é a nossa resolução, galera! 😉
Resposta
a)
b)