Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.3 - Ex. 22

Prove que a integral imprópria

∫ 1 + ∞ d x x n

Será convergente se e somente se n > 1 .

Passo 1

Vamos começar calculando:

∫ 1 + ∞ d x x n

Vamos fazer:

1 x n = x - n

Colocando o limite da integral imprópria, vamos ter:

∫ 1 + ∞ d x x n = ∫ 0 + ∞ x - n d x = lim b → + ∞ ⁡ ∫ 1 b x - n d x

E calcular integral separadamente.

∫ x - n d x

Então vamos começar por ela.

Passo 2

∫ x - n d x

Aqui, vamos separar em dois caso, Quando n = 1 e n ≠ 1 . Isso porque com n = 1 a integral é o log e no outro caso é a integral de potência mesmo

∫ x - n d x = x - n + 1 - n + 1 s e n ≠ 1 ln ⁡ x s e n = 1

Passo 3

Vamos resolver naqueles dois casos:

Primeiro n = 1

lim b → + ∞ ⁡ ∫ 1 b x - n d x = lim b → + ∞ ⁡ ln ⁡ b - ln ⁡ 1 = lim b → + ∞ ⁡ ln ⁡ b = + ∞

Entao para n = 1 essa interal diverge.

Passo 4

Agora n ≠ 1

lim b → + ∞ ⁡ ∫ 1 b x - n d x = lim b → + ∞ ⁡ b - n + 1 - n + 1 - 1 - n + 1 - n + 1 lim b → + ∞ ⁡ b - n + 1 - n + 1 - 1 - n + 1

Ali temos um b elevando a um número, esse limite vai para 0 se o expoenente por negativo e para + ∞ se for positivo.

Assim, ela vai convergir apenas para

- n + 1 < 0

n > 1

Como ele queria que mostrasse

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Engenheiros da Petrobras estimaram que um poço de petróleo pode produzir óleo a uma taxa de: P t = 80 e - 0,04 t - 80 e - 0,1 t milhares de barris por mês, onde t representa o tempo, medido em meses,
Investigar as integrais impróprias seguintes.
Investigar as integrais impróprias seguintes.
Investigar as integrais impróprias.
Investigar as integrais impróprias.