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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.3 - Ex. 21

Mostre que a integral imprópria:

∫ - ∞ + ∞ x 1 + x 2 - 2 d x

É convergente.

E a integral imprópria:

∫ - ∞ + ∞ x 1 + x 2 - 1 d x

É divergente.

Passo 1

Vamos começar calculando:

∫ - ∞ + ∞ x 1 + x 2 - 2 d x

Para isso, devemos fazer

∫ - ∞ + ∞ x 1 + x 2 - 2 d x = ∫ - ∞ 0 x 1 + x 2 - 2 d x + ∫ 0 + ∞ x 1 + x 2 - 2 d x

Colocando o limite da integral imprópria, vamos ter:

∫ - ∞ 0 x 1 + x 2 - 2 d x = lim a → - ∞ ⁡ ∫ a 0 x 1 + x 2 - 2 d x

∫ 0 + ∞ x 1 + x 2 - 2 d x = lim b → + ∞ ⁡ ∫ 0 b x 1 + x 2 - 2 d x

∫ - ∞ + ∞ x 1 + x 2 - 2 d x = lim a → - ∞ ⁡ ∫ a 0 x 1 + x 2 - 2 d x + lim b → + ∞ ⁡ ∫ 0 b x 1 + x 2 - 2 d x

E calcular essas duas integrais separadamente.

Para ambas as integrais impróprias, devemos achar a integral indefinida

∫ x 1 + x 2 - 2 d x

Então vamos começar por ela.

Passo 2

∫ x 1 + x 2 - 2 d x

Para resolvê-la, vamos usar a substituição

1 + x 2 = y → 2 x d x = d y → x d x = d y 2

A integral vai ficar:

∫ y - 2 2 d y = y - 3 2 - 3 + C = - y - 3 6 + C

Voltando para o x

- y - 3 6 + C = - 1 + x 2 - 3 6 + C

Vamos escrever aquele expoente no denominador:

- 1 6 1 + x 2 3 + C

Passo 3

Vamos olhar cada limite separadamente agora:

lim a → - ∞ ⁡ ∫ a 0 x 1 + x 2 - 2 d x = lim a → - ∞ ⁡ - 1 6 1 + x 2 3 a 0 =

lim a → - ∞ ⁡ - 1 6 1 + 0 2 3 - - 1 6 1 + a 2 3 = lim a → - ∞ ⁡ - 1 6 + 1 6 1 + a 2 3 =

- 1 6 + 1 6 1 + - ∞ 2 3 = - 1 6 + 1 + ∞ = - 1 6

Passo 4

Agora o outro limite:

lim b → + ∞ ⁡ ∫ 0 b x 1 + x 2 - 2 d x = lim b → + ∞ ⁡ - 1 6 1 + x 2 3 0 b =

lim b → + ∞ ⁡ - 1 6 1 + b 2 3 - - 1 6 1 + 0 2 3 = lim b → + ∞ ⁡ - 1 6 1 + b 2 3 + 1 6 =

- 1 6 1 + - ∞ 2 3 + 1 6 = 1 + ∞ + 1 6 = 1 6

Passo 5

Agora, vamos ter que:

∫ - ∞ + ∞ x 1 + x 2 - 2 d x = ∫ - ∞ 0 x 1 + x 2 - 2 d x + ∫ 0 + ∞ x 1 + x 2 - 2 d x = 1 6 - 1 6 = 0

Logo ela e convergente.

Passo 6

Vamos olhar a outra integral:

∫ - ∞ + ∞ x 1 + x 2 - 1 d x

∫ - ∞ + ∞ x 1 + x 2 - 1 d x = ∫ - ∞ 0 x 1 + x 2 - 1 d x + ∫ 0 + ∞ x 1 + x 2 - 1 d x

Colocando o limite da integral imprópria, vamos ter:

∫ - ∞ 0 x 1 + x 2 - 1 d x = lim a → - ∞ ⁡ ∫ a 0 x 1 + x 2 - 1 d x

∫ 0 + ∞ x 1 + x 2 - 1 d x = lim b → + ∞ ⁡ ∫ 0 b x 1 + x 2 - 1 d x

∫ - ∞ + ∞ x 1 + x 2 - 1 d x = lim a → - ∞ ⁡ ∫ a 0 x 1 + x 2 - 1 d x + lim b → + ∞ ⁡ ∫ 0 b x 1 + x 2 - 1 d x

E calcular essas duas integrais separadamente.

Para ambas as integrais impróprias, devemos achar a integral indefinida

∫ x 1 + x 2 - 1 d x

Então vamos começar por ela.

Passo 7

∫ x 1 + x 2 - 1 d x

Para resolvê-la, vamos usar a substituição

1 + x 2 = y → 2 x d x = d y → x d x = d y 2

A integral vai ficar:

∫ y - 1 2 d y = ln ⁡ y 2 + C

Voltando para o x

ln ⁡ y 2 + C = ln ⁡ 1 + x 2 2 + C

Vamos escrever aquele expoente no denominador:

ln ⁡ 1 + x 2 2 + C

Passo 8

Vamos olhar cada limite separadamente agora:

lim a → - ∞ ⁡ ∫ a 0 x 1 + x 2 - 1 d x = lim a → - ∞ ⁡ ln ⁡ 1 + x 2 2 a 0 =

lim a → - ∞ ⁡ ln ⁡ 1 + a 2 2 - ln ⁡ 1 + 0 2 2 = lim a → - ∞ ⁡ ln ⁡ 1 + a 2 2 =

ln ⁡ 1 + - ∞ 2 2 = ln ⁡ 1 + ∞ 2 = + ∞

Se esse lado da integral já deu + ∞ , isso nos diz que a integral diverge.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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