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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 10.1 - Ex. 45

45. Prove que, sobre uma parábola, o ponto mais próximo do foco é o vértice.

Passo 1

Para provarmos isso vamos usar o cálculo de distância entre pontos, que tem como fórmula:

d = x 1 - x 2 + y 1 - y 2

Para facilitar nossa vida vamos adotar uma parábola com vértice na origem e voltada para cima.

Vamos usar a informação de que a distância entre o vértice e o foco é igual a p. Assim nosso foco está localizado na posição ( 0 ,   p ) .

Passo 2

Vamos calcular a distância entre o foco e o vértice:

d = 0 - 0 2 + 0 - p 2 = p 2

Agora a distância entre o foco e um ponto x 1 ,   y 1 pertencente a parábola:

d 1 = x 1 - 0 2 + y 1 - p 2

= x 1 2 + y 1 - p 2

Passo 3

Analisando os argumentos das raízes vemos que:

x 1 2 + y 1 - p 2 > 0

x 1 2 + y 1 2 - 2 y 1 p + p 2 > 0

E

p 2 > 0

Então podemos dizer que:

x 1 2 + y 1 2 - 2 y 1 p + p 2 > p 2

x 1 2 + y 1 2 - 2 y 1 p > 0

Você pode me perguntar por que logo esse é o verdadeiro e não o seguinte:

x 1 2 + y 1 2 - 2 y 1 p + p 2 < p 2

x 1 2 + y 1 2 - 2 y 1 p < 0

O que seria falso já que o lado direito é positivo.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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