Se f x = 3 x 2 + x | x | , prove que f ' ' ( 0 ) não existe, mas o gráfico de f é côncavo para cima em toda parte.

Enunciado

Para começar vamos determinar a concavidade do gráfico. Esta concavidade pode ser determinada pela derivada segunda da função nos valores de x.

Devemos lembrar que:

Então:

Derivando:

A derivada primeira da função indica a inclinação da reta tangente àquele ponto. Sabendo que:

Lembrando que, para o limite bilateral existir os limites laterais direito e esquerdo devem ser iguais.

Ou seja, há uma reta tangente vertical que passa sobre o ponto .

Analogamente:

Analisando a direção da concavidade:

Como a é positiva para rodos os valores de x, o gráfico é côncavo para cima em todos od pontos.

Desenhando o gráfico da função para comprovarmos o que foi visto:

Ei, a resposta está no passo a passo :)