A gudermaniana, assim chamada em homenagem ao matemático alemão Christoph Guderman (1798-1852), é a função definida por gd(x) = tan^(-1)(senh(x)) . Mostre que D(x) = gd(x) = sech(x) .

Passo 1

Vamos ter que mostrar que a derivada dessa função apresentada é sech ⁡ x . A notação D x é de derivada em relação a x , ok?

D x gd  x = tan - 1 ⁡ ( senh ⁡ x ) '

Analisando a questão, verificamos que é uma composição de uma trigonométrica inversa com uma hiperbólica em que senh ⁡ x está dentro de t a n - 1 . Daí concluímos que teremos que utilizar a regra da cadeia (derivada de fora vezes a derivada de dentro).

Começaremos então derivando a função trigonométrica (derivada de fora) e depois iremos ver a derivada de dentro.

Para isso, devemos conhecer a derivada:

( tan - 1 ⁡ x ) ' = 1 1 + x 2

Porém, quando temos uma função no lugar de x , devemos utilizar a regra da cadeia. Teremos então a fórmula abaixo que adapta o caso e facilita o nosso trabalho quando u é uma função de x .

( tan - 1 ⁡ u ) ' = u ' 1 + u 2

Passo 2

No nosso exemplo, gd ( x ) = tan - 1 ⁡ senh ⁡ x ⏟ u , logo u = senh ⁡ x e basta substituir na fórmula da derivada apresentada, ficando com:

D x gd  x = ( tan - 1 ⁡ senh ⁡ x ) ' = senh ⁡ x ' 1 + senh ⁡ x 2

Passo 3

Agora precisamos da derivada de senh ⁡ x . Sabemos que senh ⁡ x ' = cosh ⁡ x , então:

D x gd  x = cosh ⁡ x 1 + senh ⁡ x 2 = cosh ⁡ x cosh 2 ⁡ x = 1 cosh ⁡ x = sech ⁡ x

D x gd  x = sech ⁡ x

Acima usamos que 1 + senh 2 ⁡ x = cosh 2 ⁡ x e 1 cosh ⁡ x = sech ⁡ x .

Tá demonstrado então.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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