Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.Revisão - Ex. 40
A gudermaniana, assim chamada em homenagem ao matemático alemão Christoph Guderman (1798-1852), é a função definida por . Mostre que .
Passo 1
Vamos ter que mostrar que a derivada dessa função apresentada é . A notação é de derivada em relação a , ok?
Analisando a questão, verificamos que é uma composição de uma trigonométrica inversa com uma hiperbólica em que está dentro de . Daí concluímos que teremos que utilizar a regra da cadeia (derivada de fora vezes a derivada de dentro).
Começaremos então derivando a função trigonométrica (derivada de fora) e depois iremos ver a derivada de dentro.
Para isso, devemos conhecer a derivada:
Porém, quando temos uma função no lugar de , devemos utilizar a regra da cadeia. Teremos então a fórmula abaixo que adapta o caso e facilita o nosso trabalho quando é uma função de .
Passo 2
No nosso exemplo, , logo e basta substituir na fórmula da derivada apresentada, ficando com:
Passo 3
Agora precisamos da derivada de . Sabemos que , então:
Acima usamos que e .
Tá demonstrado então.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)