A gudermaniana, assim chamada em homenagem ao matemático alemão Christoph Guderman (1798-1852), é a função definida por . Mostre que .

Vamos ter que mostrar que a derivada dessa função apresentada é . A notação é de derivada em relação a , ok?

Analisando a questão, verificamos que é uma composição de uma trigonométrica inversa com uma hiperbólica em que está dentro de . Daí concluímos que teremos que utilizar a regra da cadeia (derivada de fora vezes a derivada de dentro).

Começaremos então derivando a função trigonométrica (derivada de fora) e depois iremos ver a derivada de dentro.

Para isso, devemos conhecer a derivada:

Porém, quando temos uma função no lugar de , devemos utilizar a regra da cadeia. Teremos então a fórmula abaixo que adapta o caso e facilita o nosso trabalho quando é uma função de .