Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 2.4 - Ex. 45

Prove que o teorema :

Se for um inteiro positivo qualquer, então

Passo 1

Temos que separar em duas demonstrações. Primeiro supondo que seja par, depois suponodo que seja ímpar.

Se for par, ele quer que demonstre que:

Então, temos que mostrar que:

Para todo existe tal que:

Temos que começar olhando a expressão que ele deu para depois tentarmos arrumar essa expressão para acharmos o

Passo 2

Temos que

Então, .

Vamos olhar aquela expressão que ele quer no final:

Divindo por e multiplicando por , quando multiplicamos por , apesar do ser um número negativo, como o é par, será um número positivo. Dessa forma a inequação não vai se alterar.

Podemos passar a raiz na inequação, encontrando

Colocamos o módulo porque é é par.

Essa inequação modular vai ficar:

Queremos olhar a expressão com , então multiplicando por

Chegamos em uma expressão parecida com o

Já vimos que ele é , então

Pronto, isso mostra que se pegarmos

Conseguimos chegar em

Passo 3

Vamso para a segunda parte:

Se for ímpar, ele quer que demonstre que:

Ou seja:

Para todo existe tal que:

Temos que começar olhando a expressão que ele deu para depois tentarmos arrumar essa expressão para acharmos o

Passo 4

Temos que

Então, .

Vamos olhar aquela expressão que ele quer no final:

Divindo por e multiplicando por , quando multiplicamos por , como o é ímpar, será um número negativo porque é negativo, o que altera a inequação. Mas ao dividirmos por , que é negativo, a inequação antera novamente. Então acaba que a inequação se mantém.