Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.10 - Ex. 32
Puxando um bote Um bote é puxado por uma corda, presa à proa, que passa por uma argola presa no cais a 6 pés acima da proa. A corda é puxada a uma taxa de 2 pés/s.
a. A que velocidade o barco se aproxima do cais quando 10 pés de corda foram puxados?
b. A que taxa o ângulo varia nesse instante (veja a figura)?
Passo 1
Considerações importantes para esse tipo de questão:
Distância em y do barco até a argola na beira do cais não varia = 6 pés =6 ftVelocidade de aproximação do barco até a beira do cais:
Distancia s da corda que puxa o barco = 10 pés
Pode parecer mal escrito quando diz 10 pés de corda foram puxados. Mas imagina que a distância de corda diminui com o tempo pela argola, ela é responsável por rebocar o bote e nesse momento ela está puxando 10 pés de corda. Com isso fica até mais fácil ver que a velocidade é paralela a corda.
Passo 2
Com os dados oferecidos pela questão e com a figura podemos modelar nosso sistema.
Para achar a variação do ângulo pode se usar tanto o seno, cosseno ou a tangente ou qualquer outra relação trigonométrica, utilizei o cosseno pois com ela o calculo fica mais direto.
O nosso triângulo retângulo é formado pelo cateto 6 e a hipotenusa 10, que é 2 vezes maior que o nosso tradicional triângulo 3,4,5. Logo o cateto que falta é o 8.
Nesse triangulo temos as relações trigonométricas:
Passo 3
Derivando no tempo nossas equações:
Lembrando como se deriva divisões :
No caso de uma fração com numerador constante podemos enxergar da seguinte forma:
Substituindo os valores nas duas temos:
Para encontrar a variação do ângulo temos então:
Resposta
, aproximação
, sentido anti-horário