Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.9 - Ex. 25
Uma pedra cai livremente num lago parado. Ondas circulares se espalham e o raio da região afetada aumenta a uma taxa de . Qual a taxa segundo a qual a região esta aumentando quando o raio for .
Passo 1
Taxas relacionadas pode parecer um pouco complicado, e as vezes é, pra ser sincero kkkk ;-; mas existe um passo a passo que pode nos ajudar muito pra resolver, confere ai:
1): ler bem o enunciado e anotar a informações necessárias.
2): fazer um lindo desenho para ilustrar o problema:
3): encontrar uma relação entre as variáveis, aqui vale tudo trigonometria, geometria, Pitágoras, Tales, lei dos senos, cossenos etc.
4): colocar toda a função em termos de uma única variável, aqui se aplica o mesmo que que no passo anterior, pode soltar a imaginação e a engenhosidade.
5): derivar a, manipular, substituir e zas e zas, aí você encontra a resposta.
Parece aqueles episódios do pateta tentando aprender alguma coisa kkk
Passo 2
Nessa questão estamos lidando com a expansão de um círculo, pois esse é o formato que se vê quando uma pedra cai num lago, esses circulo (ondas) tem um raio que aumenta a uma velocidade de , o que queremos é a velocidade com que a área aumenta quando o raio for
Anotando teremos:
Passo 3
Agora é hora do desenho lindo :3
Esse problema será mais simples pois temos menos variáveis, observe que o raio do círculo está em função do tempo
Passo 4
A relação para se usar aqui é a da área do círculo, que é a derivada em quem estamos interessados.
Passo 5
Agora é hora de juntar as informações, derivar implicitamente, manipularmos a equação, substituir valores e zas e zas
Derivando implicitamente em relação a :
Substituindo os valores:
Como trabalhamos todo o tempo com sendo unidade de comprimento e com segundos sendo a de tempo, a resposta estará em
Ufaaa, pronto terminou, espero ter ajudado :3