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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.10 - Ex. 8

8- Se x^2 y^3 = (4)/(27) e (d y)/(d t) = (1)/(2) , então qual será o valor de (d x)/(d t) quando x = 2 ?

Passo 1

Fazendo a derivada em relação a t nos dois lados nós temos:

(d)/(d t) (x^2 y^3) = (d)/(d t) ((4)/(27))

Onde a função x^2 y^3 é uma função com múltiplas variáveis então temos que derivar essa função com as variáveis que elas possuem.

Passo 2

(d)/(d x) (x^2 y^3) xx (d x)/(d t) + (d)/(d y) (x^2 y^3) xx (d y)/(d t) = 0

Pra derivada em relação a y tratamos a variável x como constante e para a derivada em relação a x tratamos y como constante.

2 x y^3 xx (d x)/(d t) + 3 x^2 y^2 xx (d y)/(d t) = 0

Passo 3

Já temos nossa equação diferencial, mas não temos y e nem (d x)/(d t) que é o que a questão pede. Mas podemos calcular y com a equação.

x^2 y^3 = (4)/(27)

4 xx y^3 = (4)/(27)

y^3 = (1)/(27)

y = (1)/(3)

Passo 4

Agora com todos os valores podemos encontrar (d x)/(d t)

2 x y^3 xx (d x)/(d t) + 3 x^2 y^2 xx (d y)/(d t) = 0

2 xx 2 xx ((1)/(3))^3 xx (d x)/(d t) + 3 xx 4 xx ((1)/(3))^2 xx (1)/(2) = 0

(4)/(27) xx (d x)/(d t) + (6)/(9) = 0

(d x)/(d t) = - (2)/(3) xx (27)/(4) = - (9)/(2)

Resposta

(d x)/(d t) = - (9)/(2)

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