8- Se x^2 \* y^3 = 4 / 27 e dy/dt = 1/2 , então qual será o valor de dx / dt quando x = 2 ?

Passo 1

Fazendo a derivada em relação a t nos dois lados nós temos:

d d t x 2 y 3 = d d t 4 27

Onde a função x 2 y 3 é uma função com múltiplas variáveis então temos que derivar essa função com as variáveis que elas possuem.

Passo 2

d d x x 2 y 3 × d x d t + d d y x 2 y 3 × d y d t = 0

Pra derivada em relação a y tratamos a variável x como constante e para a derivada em relação a x tratamos y como constante.

2 x y 3 × d x d t + 3 x 2 y 2 × d y d t = 0

Passo 3

Já temos nossa equação diferencial, mas não temos y e nem d x d t que é o que a questão pede. Mas podemos calcular y com a equação.

x 2 y 3 = 4 27

4 × y 3 = 4 27

y 3 = 1 27

y = 1 3

Passo 4

Agora com todos os valores podemos encontrar d x d t

2 x y 3 × d x d t + 3 x 2 y 2 × d y d t = 0

2 × 2 × 1 3 3 × d x d t + 3 × 4 × 1 3 2 × 1 2 = 0

4 27 × d x d t + 6 9 = 0

d x d t = - 2 3 × 27 4 = - 9 2

Resposta

d x d t = - 9 2

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