Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 13.5 - Ex. 2
Quantos metros de chapa de ferro são necessários para construir um arco AB, de forma parabólica, sendo A e B simétricos com relação ao eixo de simetria da parábola e com as seguintes dimensões: 2 m a distancia de A à B e 1 m a do vértice ao segmento AB.
Passo 1
Sendo o eixo de simetria da parábola o próprio eixo y, vamos ilustrar a parábola para fácil entendimento!
Analisando o gráfico podemos concluir que a função dada se trata de:
Passo 2
Agora que sabemos de qual função se trata, vamos calcular seu comprimento!!
Lembrando que para o calculo do comprimento nos usamos a seguinte formula:
Então, para calcula-la vamos primeiro calcular a deriva da função :
Agora se pensar no intervalo como ele quer o comprimento indo de A até B, usaremos essa medida como intervalo!
Então nossa distância será dada por:
Passo 3
Antes de mais nada, precisamos calcular a primitiva desta integral! Pra isso faremos uso de substituições trigonométricas com ajuda do triângulo abaixo:
Derivando dos dois lados e isolando dx :
Também podemos observar que:
E então jogando as informações que obtivemos chegamos que:
Passo 4
Usando a técnica de integração por partes ficaremos com:
Lembrando que :
Masss a substituição trigonométrica foi apenas uma muleta para nos ajudar no caminho até a resposta, para resolver o problema agora devemos retorna a nossa variável !!
Lembre que nos já calculamos essas funções trigonométricas !
Passo 5
Finalmente calcularemos o comprimento pedido no enunciado:
Agora pra fechar com chave de ouro e deixar a resposta ainda mais linda, vamos racionalizar a fração dentro do log:
Substituindo este ultimo valor encontrado na nossa resposta chegamos que:
Resposta
Concluímos que serão necessários metros de chapa de ferro para construção do arco AB.