Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.17 - Ex. 35
35- Generalize o resultado do exercício 33.
Obs: exercício 33: Considere o polinômio onde são reais fixos. Seja um real dado.
- Mostre que existem reais tais que .
- Conclua que .
Passo 1
A questão 33 tratou o polinômio de Taylor de grau 3. Agora, queremos generalizar esse resultado. Ou seja, iremos tratar com o grau n. Note que quando derivamos o polinômio n vezes, apenas o termo de expoente igual a n se manterá, pois se o coeficiente for menor que n, se tornará constante a partir de certo ponto, e se for maior que n, temos que por causa do termo , este será zerado.
Observe que e assim em diante.
Desse modo, temos que o n-ésimo coeficiente do polinômio poderá ser encontrado a partir da relação:
Passo 2
Agora que encontramos a relação entre a n-ésima derivada e o n-ésimo coeficiente, podemos reescrever:
E, portanto:
Desse modo, podemos reescrever o polinômio da seguinte forma: