35- Generalize o resultado do exercício 33.Obs: exercício 33: Considere o polinômio P x = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 , onde a 0 , a 1 , a 2ea 3 são reais fixos. Seja x 0 um real dado.Mostre que existem reais A 0 , A 1 ,A 2eA 3 tais que P x = A 0 + A 1 x - x 0 + A 2 x - x 0 2 + A 3 x - x 0 3 .Conclua que P x = P x 0 + P ' x 0 x - x 0 + P ' ' x 0 2 ! . x - x 0 2 + P ' ' ' x 0 3 ! . x - x 0 3 .

P x = P x 0 + ∑ k = 1 n P k x 0 k ! x - x 0 k .

Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.17 - Ex. 35

35- Generalize o resultado do exercício 33.

Obs: exercício 33: Considere o polinômio onde são reais fixos. Seja um real dado.

Mostre que existem reais tais que .

Conclua que .

Passo 1

A questão 33 tratou o polinômio de Taylor de grau 3. Agora, queremos generalizar esse resultado. Ou seja, iremos tratar com o grau n. Note que quando derivamos o polinômio n vezes, apenas o termo de expoente igual a n se manterá, pois se o coeficiente for menor que n, se tornará constante a partir de certo ponto, e se for maior que n, temos que por causa do termo , este será zerado.

Observe que e assim em diante.

Desse modo, temos que o n-ésimo coeficiente do polinômio poderá ser encontrado a partir da relação:

Passo 2

Agora que encontramos a relação entre a n-ésima derivada e o n-ésimo coeficiente, podemos reescrever:

E, portanto:

Desse modo, podemos reescrever o polinômio da seguinte forma:

Resposta

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Avalie sen ⁡ 1 com erro, em módulo, inferior a 10 - 5 . (Sugestão: utilize o Exercício 2 .)

Determine o polinômio de Taylor de ordem 5 em volta de x 0 dado. f x = sen ⁡ x e x 0 = 0

Determine o polinômio de Taylor de ordem 5 em volta de x 0 dado. f x = cos ⁡ x e x 0 = 0

Determine o polinômio de Taylor de ordem 5 em volta de x 0 dado. f x = 1 + x α e x 0 = 0 , onde α ≠ 0 é um real dado.

Determine o polinômio de Taylor de ordem 5 em volta de x 0 dado. f x = ln ⁡ x e x 0 = 1