35- Generalize o resultado do exercício 33.

Obs: exercício 33: Considere o polinômio P(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³, onde a0, a1, a2 e a3 são reais fixos. Seja x0 um real dado.

  1. Mostre que existem reais A₀, A₁, A₂ e A₃ tais que P(x) = A0 + A1 * (x - x0) + A2 * (x - x0)^2 + A3 * (x - x0)^3 .
  2. Conclua que P(x) = P(x0) + P'(x0) * (x - x0) + (P''(x0) / 2!) * (x - x0)^2 + (P'''(x0) / 3!) * (x - x0)^3 .

Passo 1

A questão 33 tratou o polinômio de Taylor de grau 3. Agora, queremos generalizar esse resultado. Ou seja, iremos tratar com o grau n. Note que quando derivamos o polinômio n vezes, apenas o termo de expoente igual a n se manterá, pois se o coeficiente for menor que n, se tornará constante a partir de certo ponto, e se for maior que n, temos que por causa do termo x - x 0 , este será zerado.

Observe que P x 0 = a 0 ,   P ' x 0 = a 1 . 1 ,     P ' ' x 0 = a 2 . 2.1 ,   P ' ' ' x 0 = a 3 . 3.2 . 1 e assim em diante.

Desse modo, temos que o n-ésimo coeficiente do polinômio poderá ser encontrado a partir da relação:

f n x 0 = n ! . a n

Passo 2

Agora que encontramos a relação entre a n-ésima derivada e o n-ésimo coeficiente, podemos reescrever:

a n = P n x 0 n !

E, portanto:

P x = P x 0 + P ' x 0 x - x 0 + P ' ' x 0 2 ! x - x 0 2 + … + P n x 0 n ! x - x 0 n

Desse modo, podemos reescrever o polinômio da seguinte forma:

P x = P x 0 + ∑ k = 1 n P k x 0 k ! x - x 0 k

Resposta

P x = P x 0 + ∑ k = 1 n P k x 0 k ! x - x 0 k .

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Avalie sen(1) com erro, em módulo, inferior a 10^(-5) . (Sugestão: utilize o Exercício 2 .)
Determine o polinômio de Taylor de ordem 5 em volta de x 0 dado. f x = sen ⁡ x e x 0 = 0
Determine o polinômio de Taylor de ordem 5 em volta de x0 dado.f(x) = cos(x) e x_0 = 0
Determine o polinômio de Taylor de ordem 5 em volta de x₀ dado.f(x) = (1 + x)^α e x₀ = 0 , onde α ≠ 0 é um real dado.
Determine o polinômio de Taylor de ordem 5 em volta de x0 dado.f(x) = ln(x) e x_0 = 1