As raízes de uma equação auxiliar são m_1 = - (1 / 2), m_2 = 3 + i, m_3 = 3 - i . Qual é a equação auxiliar correspondente?

Passo 1

Então pessoal, normalmente os enunciados pedem o contrário, ou seja, nos dão a equação diferencial e pedem para que encontremos as raízes. O bom é que sabemos o formato da equação diferencial já que temos três raízes. O formato vai ser:

a y ' ' ' + b y ' ' + c y ' + d y = 0

Para encontrarmos as raízes fazemos as substituições:

y ' ' ' = m 3 ,   y ' ' = m 2 ,   y ' = m   e   y = 1

Se fizermos isso teremos:

a m 3 + b m 2 + c m + 1 = 0

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Passo 2

O enunciado nos diz que as raízes são: m 1 = - 1 2 ,   m 2 = 3 + i ,   m 3 = 3 - i , então na forma fatorada temos:

m + 1 2 m 2 - 6 m + 10 = 0

Abrindo isso aí:

m 3 - 11 2 m 2 + 7 m + 5 = 0

Se igualarmos os resultados, teremos:

a y ' ' ' + b y ' ' + c y ' + d y = m 3 - 11 2 m 2 + 7 m + 5

Disso tiramos que:

a = 1

b = - 11 2

c = 7

d = 5

E então nossa equação diferencial será:

y ' ' ' - 11 2 y ' ' + 7 y ' + 5 y = 0

E está aí nossa resolução, galera! 😉

Resposta

y ' ' ' - 11 2 y ' ' + 7 y ' + 5 y = 0

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