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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.2 - Ex. 37b

37 – A região no primeiro quadrante limitada em cima pela curva y = 1 x 1 4 a esquerda pela reta x = 1 16 e abaixo da reta y = 1 é girada em torno do eixo x para gerar um sólido. Determine o volume do sólido pelo:

B – Método da casca.

Passo 1

Deste modo temos que nas coordenada de y a figura é limitada a = 1   e   b = 2

Já para as coordenadas de x ela está limitada em a = 1 16   e   b = 1 .

Descobrindo as novas funções:

y = 1 x 1 4 → x = 1 y 4   e   x = 1 16

Passo 2

Resolver em torno do eixo x:

Fórmula:

V = 2 π ∫ a b r a i o ⋅ a l t u r a   d x

Inserindo na fórmula teremos:

V = 2 π ∫ 1 2 y 1 y 4 - 1 16 d y

V = 2 π ∫ 1 2 y y 4 - y 16   d y  

V =   2 π ∫ 1 2 1 y 3 - y 16   d y = 2 π ∫ 1 2 y - 3 - y 16   d y

Resolvendo a integral teremos:

2 π y - 3 + 1 - 3 + 1 - y 1 + 1 1 + 1 ⋅ 16 1 2 = 2 π y - 2 - 2 - y 2 32 1 2 = 2 π - y - 2 2 - y 2 32 1 2

Inserindo os limites de integração, obteremos o volume:

2 π - 2 - 2 2 - 2 2 32 - - 1 - 2 2 - 1 2 32 = 2 π - 2 - 3 - 4 32 - - 1 2 - 1 32

Assim:

2 π - 1 8 - 1 8 + 1 2 + 1 32 = 2 π - 2 8 + 1 2 + 1 32

Resolvendo dentro dos colchetes:

2 π - 8 + 16 + 1 32 = 2 π 9 32 = 9 π 16 u . v .

Observação: Como pediu o volume e não foi informado uma unidade de medida utilizamos o termo u . v . que significa unidade de volume.

Resposta

9 π 16 u . v .

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