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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.2 - Ex. 28b

Nos Exercícios 27 e 28, use o método da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões sombreadas em torno dos eixos indicados.

28 –

B – Para a reta y = 2 .

Passo 1

Observe que os limites da figura do eixo apresentado é o 2 e 0, logo este será nosso limite integração. Para tal o raio será 2 - y

Utilizaremos a fórmula:

V =   ∫ b a 2 π ⋅ r a i o   d a   c a s c a a l t u r a   d a   c a s c a d y

Inserimos agora os valores na fórmula:

Para a função teremos:

V =   2 π ∫ 0 2 ( 2 - y ) y 2 2 - y 4 4 - y 2 2 d y = 2 π ∫ 0 2 ( 2 - y ) y 2 2 - y 4 4 + y 2 2 d y = 2 π ∫ 0 2 ( 2 - y ) y 2 - y 4 4 d y

Desenvolvendo a multiplicação:

2 π ∫ 0 2 2 y 2 - y 4 2 - y 3 + y 5 4   d y

Resolvendo a integral teremos:

V = 2 π 2 y 3 3 - y 5 10 - y 4 4 + y 6 24 0 2

Resolvendo os limites de integração:

V = 2 π 2 ⋅ 2 3 3 - 2 5 10 - 2 4 4 + 2 6 24 - 2 ⋅ 0 3 3 - 0 5 10 - 0 4 4 + 0 6 24

V = 2 π 16 3 - 32 10 - 16 4 + 64 24 - 0  

V = 2 π 4 5 = 2 π 4 5 = 8 π 5   u . v .

Observação: Como pediu o volume e não foi informado uma unidade de medida utilizamos o termo u . v . que significa unidade de volume.

Resposta

8 π 5 u . v .

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