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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.2 - Ex. 31c

Nos exercícios 31-36, determine os volumes dos sólidos obtidos com a rotação das regiões em torno dos eixos dados. Se preferir, você poderá usar anéis para resolvê-los.

31 – O triângulo com vértices ( 1, 1 ), ( 1, 2) e (2, 2) em torno: C – Da reta x = 10 3 .

Passo 1

Plotamos o triângulo conforme os vértices mostrados, assim se analisarmos bem o gráfico teremos a função: y = x .

Passo 2

Primeiramente vamos verificar as funções para o eixo y.

Se analisarmos a figura em torno do eixo y, teremos que a altura é dada pela rela y   =   2 .

Assim:

E a altura deste triângulo é dada por y = 2, assim teremos a função: y = 2 - x

Assim é verificado para este método.

Assim o raio será 10 3 - x

Utilizando a fórmula:

V = 2 π ∫ a b r a i o ⋅ a l t u r a   d x

Inserindo na fórmula teremos:

V = 2 π ∫ 1 2 10 3 - x 2 - x   d x

V = 2 π ∫ 1 2 20 3 - 16 x 3 + x 2   d x

Resolvendo a integral teremos:

2 π 20 x 3 - 16 x 2 6 + x 3 3 1 2 = 2 π 20 x 3 - 8 x 2 3 + x 3 3 1 2

Inserindo os limites de integração, obteremos o volume:

2 π 20 ⋅ 2 3 - 8 ⋅ 2 2 3 + 2 3 3 - 20 3 - 8 3 + 1 3  

Resolvendo:

2 π 40 3 - 32 3 + 8 3 - 20 3 + 7 3 = 2 π 16 3 - 13 3 = 2 π 3 3 = 2 π 1

2 π   u . v . .

Observação: Como pediu o volume e não foi informado uma unidade de medida utilizamos o termo u . v . que significa unidade de volume.

Resposta

2 π   u . v .

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